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「ポテンシャルV(x、y)は 

{0<=x、y<=L}のとき0
それ以外の領域は∞

のときのエネルギー固有値と波動関数を求めよ」

という問題なんですがよくわかりません。
周期的境界条件ってこの場合ありますか?
流れだけでもいいですので教えてください。

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A 回答 (5件)

結論から言うと、X(L)=0 、Y(0)=0です。

(この境界条件を課さないと解けません)
sotobayasiさんがつまづかれたのは式解釈の単純な誤りによります。

ポテンシャルを与えている式ですが、題意の式は
 0≦x≦L かつ 0≦y≦L
 の領域で0、
 それ以外の領域で無限大
との意味に解釈すべきです。(でないと、2次元量子井戸にならないですよね)
もし出題者がポテンシャルをsotobayasiさんの解釈のように
 0≦xで0 また y≦Lで0
と与えたかったのならばLなんて値を持ち出さずに、ポテンシャルを
 0≦xで0 また y≦0で0
と与えたはずです。(∵単なる座標の平行移動なので、本質的に同じ問題)

そもそもポテンシャル0の部分が半無限に広がっているのであれば波動関数はどこまでも広がってしまい、規格化条件∫|φ|^2 dr=1を適用できません。
またエネルギー準位も好きなものを取れますから固有値はなんでもよくなってしまいます。

以下の図はポテンシャルの井戸を上から覗いた図です。(■が無限にポテンシャルの高いところ、□がポテンシャル0のところだと思って下さい)
【正しい解釈】
y
↑→x
■■■■■■
■■■■■■
■■□□■■L
■■□□■■0
■■■■■■
■■■■■■
  0 L

【誤った解釈】
y
↑→x
■■■■■■
■■■■■■
■■□□□□L
■■□□□□
■■□□□□→無限にポテンシャル0の部分が続く
■■□□□□
  0  ↓こちらも無限にポテンシャル0の部分が続く
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
おっしゃる通り勘違いでした。確かに井戸型ではないですよね。
何度もすいませんでした。

お礼日時:2001/08/05 02:17

No.2のbrogieです。



本質的なことではありまえんが、Umadaさんの回答の式でdと書くべきところを∂とウッカリ書かれてようですので、念のため書いておきます。
(2)式からは∂のところはdです。例えば、(4a)式は
-A^2(1/X)(d^2X/dx^2)=E1(4a)
になると思います。

失礼しました。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
変数分離でやればなんとか解けました。

お礼日時:2001/08/05 02:19

周期境界条件をとってクローニッヒ ‐ ペニー のモデル井戸型ポテンシャルを考えて、


井戸の深さ(壁の高さ)を∞にしても解は得られますが、
普通はそうはしないのではないでしょうか?

{0<=x、y<=L}以外の領域は∞ なので、
そこでの波動関数(?)を考えてみれば、
おのずと、x,y=0,Lのときの境界条件がわかると思います
(周期境界条件ではなく、
 剛体境界(??)条件(rigid bounray condition)で解けば良く、
 {0<=x、y<=L}の中だけ考えれば良いことがわかります。)

ちなみに、こういう四角の箱型や、円でない変な形の場合は
きれいな準位に分かれなくなって、量子カオスが起こってきます。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/08/05 02:15

この程度の問題は量子力学のテキストには必ず記載されています。

図書館などで調べて下さい。従って、皆さんからは、回答してもらえないのではないでしょうか?

ここでは、ヒントだけ書いておきます。
2次元の問題ですから、
(1)ψ(x,y,t)=φ(x,y)T(t)
とおく、
(2)φ(x,y)=X(x)Y(t)
とおく、
X,Y,Tの微分方程式が求まります。
この微分方程式を解いて、
境界条件
(3)X(0)=X(L)=0,Y(0)=Y(L)=0
規格化条件
(4)∫│X(x)│^2dx=1など
以上の条件で解いていきますと、固有関数と固有値が求まります。

では、頑張って解いて見て下さい。分からない時は図書館行きです。自分の手で解いてみることです。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
どうやら単純に式の解釈を間違っていたみたいです(恥)。
どうもお手数かけました。

お礼日時:2001/08/05 02:12

井戸型ポテンシャルはSchroedinger方程式を解く問題としては、比較的とっつきやすいものですね。



1. 波動関数をφ(x,y)と置き、Schroedinger方程式を書き下す。
-A^2 ∇^2 φ(x,y)=E φ(x,y) (1)
ここに、A^2は (Planck定数を2πで割ったもの)^2/2m なる定数、mは粒子の質量。またこのとき定数をAでなくA^2とおいたのは後の計算上の技巧のため。

2. 変数分離型の解を求める。
すなわちφ(x,y)=X(x) Y(y)とおき、上の式に代入する。
-A^2 (Y(∂^2 X/∂x^2) +X(∂^2 Y/∂y^2)) = E X(x) Y(y) (2)
両辺をXYで除して
-A^2 ((1/X)(∂^2 X/∂x^2) +(1/Y)(∂^2 Y/∂y^2)) = E (3)
第一項はxのみの関数、第二項はyのみの関数であり、(3)が恒等的に成り立つためには
-A^2 (1/X)(∂^2 X/∂x^2) =E1 (4a)
-A^2 (1/Y)(∂^2 Y/∂y^2) =E2 (4b)
が必要十分である。ここにE1, E2は定数であり、E1+E2=Eの関係を満たす。

この方程式は簡単な線形2階微分方程式に帰着しますからすぐに解けますね((4a)の両辺にXをかけるだけ)。普通の2次元膜の振動と本質的に同じ問題です。

3. 境界条件を検討する。
井戸の外ではではVは無限大です。計算してみると分かるのですがここでは波動関数は恒等的に0になります。波動関数が境界x,y=0およびx,y=Lで滑らかにつながるという要請を考えると、
X(0)=X(L)=0 (5a)
Y(0)=Y(L)=0 (5b)
が境界条件として課されます。

4. 固有値を求める
これは(4a)(4b)式に、得られた波動関数X(x), Y(y)を代入することで求まります。
E1, E2をそれぞれ求めて、最後に足せばよいわけです。

周期的境界条件はこの場合関係ありません。(なぜなら、井戸は一個しかないわけですから)
もし井戸が多数個並んでいて、かつ井戸の障壁が有限の高さであれば周期的境界条件が関係してきます。この場合は粒子が取りうるエネルギーに幅が生じるます。(固体のバンド構造の話へとつながっていきます)

*解き方の大筋は上でよいはずですが、細かいところでタイプミス、計算ミスをしているかも知れません。検算しながら読んで頂ければ幸いです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
変数分離のとこまではいけたんです。
>X(0)=X(L)=0
>Y(0)=Y(L)=0
とありますが X(L)=0 、Y(0)=0ですか?
x>=0
y<=L
でポテンシャルは0という条件からX(L)=0 、Y(0)=0と
いう境界がひけるんですか?
何度もすいませんできればお答え願います。

お礼日時:2001/08/04 13:16

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Q一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方

1辺aの立方体に質量mの内部構造のないNコの同種粒子からなる気体がある。
一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
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という問題で
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というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか?教えてください(泣

Aベストアンサー

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
すなわち,縮退度は3.

2番目の励起状態は,nx,ny,nz のうち2つが2,残り1つが1というやつで,
これも3通りの可能性があるから,縮退度は3.

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一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと
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スピンまで考慮すれば,縮退度は上の計算の2倍になります.

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
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    2L│_
      │ │ 
      │ │
      │_│__x
        L                                 
   【H:エイチバーの意】   H^2π^2         ny^2        
   エネルギー固有値は E=――――――(nx^2+――――)  
                    2mL^2          4       
    (nx=1,2,3・・・)、(ny=1,2,3、・・・)    

   (1)基底状態のエネルギー固有地をH、π、m、Lで表せ。
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問2 1次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中の粒子運動を考える。
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   x=0とx=0.25×10^-10mの間に観測する確率を計算せよ。

このような問題なのですが、教えて下さい。

問1 2次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中の粒子運動を考える。   
 
    2L│_
      │ │ 
      │ │
      │_│__x
        L                                 
   【H:エイチバーの意】   H^2π^2         ny^2        
   エネルギー固有値は E=――――――(nx^2+――――)  
                    2mL^2...続きを読む

Aベストアンサー

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nx^2 = 1, 4, 9, ...
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だから,
一番低い(基底状態)のは,1, 1/4 の組み合わせで {nx^2 + ny^2/4} = 5/4
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第2励起状態は,1, 9/4 で,...
以下同様です.

問1の(1),{nx^2 + ny^2/4} のところはOKですが,
前の係数は大丈夫?

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量子力学を使うとどんなことがいいことがありますか。
できるだけ一般の人がわかる範囲のこと、
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教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

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ピストンを押して気体を圧縮したとします。
この時の変化は等温、断熱のどちらでしょうか。

多分この辺がわかりにくいのだと思います。
この操作自体はボイルの法則のところで当たり前に様にして出てきます。でも操作だけなんです。
「温度一定の条件で」とか「温度が変わらないようにして」という注が付いています。「温度が変わらないようにしようと思えばどうすればいいか」には触れられていません。

実際にやると等温、断熱の間の変化が起こります。
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温度が上がったということは内部で熱が生じ、外に出てきたということです。温度が上がっていますから等温ではありません。外に熱が出てきていますので断熱でもありません。熱が外に出てきていますので出てこない場合に比べると内部の温度上昇は小さくなっているはずです。
ピストンとシリンダーの構造や材質を変えることによって熱が外に出てくるのをいくらか押さえることが出来ます。でも何時も時間の尺度が問題になります。時間が経つと外部の温度と同じになります。構造や材質を変えることによって外部の温度と同じになる時間を速くする事も出来ます。
普通に起こる圧縮の場合、断熱変化と等温変化の間の変化が起こっています。「全く熱の移動が起こらない」という条件と「十分に熱の移動が起こる」という条件は2つの極限的な条件です。理想的な条件です。

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Aベストアンサー

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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炭素の2sと酸素の2sから出来る1シグマーと3シグマーは炭素の2sと酸素の2sエネルギーの平均値から
E(炭素のエネルギー)-E(酸素のエネルギー)の値を引いたのが1シグマー、加えたのが4シグマーのエネルギーになります。
同様に炭素の2sと酸素の2pで出来る2シグマーと4シグマーのエネルギーが決まります。
②シグマーやパイのまえの係数はエネルギーの低い順からシグマーとパイを別して自然数を係数として順番に付けます。


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