d/dx∫_a^x f(t)dt=f(x)が成り立つ事の直感的な説明を教えて下さい。

d/dx∫_a^x f(t)dt=f(x)が成り立つ事の直感的な説明を教えて下さい。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/25 09:48

問題には多少の混乱があるようですが、広く掲載されています。

f(x)について、2つの関数、F(x),G(x) あり、不明確なまま議論されている。Fは fの原始関数
で、F(x)'=f(x) を満たすもの。Gは区間[a,x]で定義され G(x)=lim Σf(xk)⊿xk です。
そして、G(x)=∫[a→x] f(t)dt と表現する。

したがって、F(x)'=f(x) は当然で、設問のように G(x)'=f(x) の証明ですが、まともな書籍に
は載っており、それを見れば直感的に分かります。

その概略は、区間[a,x]、[a,x+⊿x] で、末尾は xn≒x, ⊿xn=⊿x だから
G(x)≒Σf(xk)⊿xk、G(x+⊿x)≒Σf(xk)⊿xk, G(x+⊿x)-G(x)≒f(xn)⊿xn≒f(x)⊿x
{G(x+⊿x)-G(x)}/⊿x≒f(x)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/25 01:22

「直感的な説明」ねえ...

簡潔なのは、「ストークスの定理の一次元の場合だよ」というものですが。
まあ、この説明が直感的だと感じる人は、おそらく極少数なわけで。
さてどうしよう。

その式が成り立つことを「微積分学の基本定理」といって、
解析学の重要事項なんですが、高校数学では
積分を定義したり、微積分学の基本定理を説明したりする手間を避けて、
その式自体を不定積分の定義にしてしまっているので、その枠内では
説明もへったくれもないんですよ。「定義だから覚えとけ」だけの話です。

そうではなくて、何らかの説明をしようとすると、高校とは別の方法で
まず定積分を微分とは独立に定義する必要が出てきて、
ここの字数でさらっと説明するにはすいぶんと分量の多い話になってしまいます。
「リーマン積分」について本を読んでくれ としか言えないかなあ。

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/11/24 23:23

d/dx∫_a^x f(t)dt の式は、添付図のように、f(t)をaからxまで積分してからそれをxについて微分するという意味でしょうか？

それであれば、単純に「ある式を積分してから微分するのだから元の式に戻る」という理解でいいと思いますが。