線形代数の問題についです。 UをR上のn次元ベクトル空間、 φ={u_1, u_2, … , u_n

線形代数の問題についです。
UをR上のn次元ベクトル空間、
φ={u_1, u_2, … , u_n}をUの基底とする。数ベクトル空間R^nの標準基底を{e_1, … , e_n}とする。このとき、線形写像Φ_u : U → R^nを
Φ_u(u_i) = e_i (i=1,2,…,n)
で定める。
(1)任意のuがUに属するに対して、Φ_u(u)=[u]_φであることを示せ。ただし[u]_φはφに関するuの成分を表す。
(2)φ,R^nの標準基底に関するΦ_uの表現行列を答え、Φ_uが同型写像であることを示しなさい。
という問題で以下の写真に書いてあるように示して見ました。まだ計算には疎いのでもし良ければどなたか検証し、間違いがあれば指摘してほしいです。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/08 01:31

(1)

＞[u]_φはφに関するuの成分を表す
？？？
Φ_u(u) は R^n の元、「φに関するuの成分」はスカラーですから、
文章をそのまま受け取ると、イコールにはなりません。

u の φ 上での成分表示を u = Σ[i=1..n](x_i)u_i とすれば、
Φ_u(u) = Φ_u(Σ[i=1..n](x_i)u_i) = Σ[i=1..n](x_i)Φ_u(u_i)
= Σ[i=1..n](x_i)e_i　です。
この最右辺のことを [u]_φと呼んだ ということなのでしょう。きっと。
問題の表現力の問題ですね。

φ が U の基底であることは、問題文中で仮定されているので、
改めて示す必要はありませんよ。

(2)
(1)で、Φ_u が Σ[i=1..n](x_i)u_i を Σ[i=1..n](x_i)e_i へ移す
ことを示しました。基底 { u_i }, { e_i } 上の Φ_u の表現行列は
任意の数対ベクトル (x_1,x2,...,x_n) を (x_1,x2,...,x_n) へ移す
一次変換の行列ですから、要するに単位行列です。

Φ_u が線型写像であることは仮定で与えられていますから、
全単射なら同型写像です。
Φ_u は、表現行列が単位行列なので、全単射ですね。