画像の数学の問について。 最初に、X=x+y, Y=xy とおいているのに、 最後X=x+y, Y=

画像の数学の問について。
最初に、X=x+y, Y=xy とおいているのに、
最後X=x+y, Y=xy ではなく、X=x, Y=y と直したのですか？

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/12/10 17:43

軌跡の問題を解きましょう！

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/08 12:51

問題は、なんでもかんでもみな (x,y) で表してしまう習慣にあります。

最初に「X=x+y,Y=xyとおく」時点での (x,y) は
x^2+y^2≦1 上の点を表しており、
後半で「変数を x,y におき換えて」の (x,y) は
求める領域上の点を表しています。
別々のものを同じ名前で呼べば、混乱するのは当然です。

なぜそんなことになるかといえば、xy 座標上の図形を式で表すときに
その図形上の点を (x,y) として x,y の関係式で書く習慣があるからです。
このやり方が、座標面上に複数の図形があったらアウトなことは明らかです。
問題が表面化しにくいのは、複数の図形が登場する場合、学校数学では
交点を考えることがほとんどなので、「どっちの曲線の(x,y)だ？」という話が
起こりにくいからに過ぎません。

そもそも x^2+y^2≦1 という表記からして、この書き方によっています。
本来は、図形を表すには、式ではなく集合として { (x,y) | x^2+y^2≦1 }
とでも書くべきなんです。この書き方なら、{ (u,v) | u^2+v^2≦1 } でも
{ (Px,Py) | (Px)^2+(Py)^2≦1 } でも同じ図形であることは明らかですね。
x,y は何なのか？という疑問も生じません。とりあえずその名前で式を書いた
だけで、他の名前でもよいことがすぐ解るからです。

今回は { (u,v) | u^2+v^2≦1 } 上の点 (u,v) を写像 (x,y)→(x+y,xy) で
移した図形を求める問題ですが、これは何も考えなくても
{ (u+v,uv) | u^2+v^2≦1 } ですね？ ただ、これを習慣に従って
{ (x,y) | 何かx,yの式 } という形で表し、「x,yの式」の部分だけを答案に書こうとして
いろいろやっているわけです。

もとの領域上の点を (u,v)、それを移した点を (p,q) とおけば、
(x,y)→(x+y,xy) より p=x+y, q=xy であって、もともと u^2+v^2≦1 です。
ここから解答と全く同じように計算すれば、求める領域は
{ (p,q) | p^2/2 - 1/2 ≦ q ≦ p^2/4 } になります。求めるべきものは、これです。
これを { (x,y) | x^2/2 - 1/2 ≦ y ≦ x^2/4 } と書いたり
x^2/2 - 1/2 ≦ y ≦ x^2/4 と書いたりするかどうかは、
悪しき慣習上の問題に過ぎないのです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/08 11:39

受け止め方は2通りです

①端的にYとXの関係が分かったなら、文字なんて何でも良いので
Yをｔに、Xをｓに置き換えても良いし
Yをｙに、Xをｘに置き換えても良いのです。
Yを○、Xを△とすれば○と△の関係が崩れなければ文字は何でもよいという事です

②より詳しくみると以下です
動点Pを(x,y)とおくのは軌跡に関する解法の定跡ですよね！今回はPのｘ座標がx+y,y座標がxyなので、P(x,y)とおけば
x=x+y,y=xy {P(x,y)=(x+y,xy)}なんです
従って本来はX,Yと言う文字を使って置き換える必要はないのです
ところが、x=x+y,y=xy {P(x,y)=(x+y,xy)}は紛らわしいとか、意味が分かりづらいと思う人もいることでしょう
そこで、動点Pのことを
点P(X,Y)と表記すると宣言しているのが、模範解答冒頭です
P(x,y)としてもP(X,Y)としても、両方ともPがx²+y²≦１の表す領域　が存在する座標平面と同じ平面に存在する点であることには変わりありません
Pのx座標をX、y座標をYとしただけのことなので
(x,y)=(X,Y),
x=X
y=Y
なのです

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2019/12/08 10:58

X,Yで図示すれば置き換える必要はありません。

解答例はXをxでYをyで表したかっただけなので、無駄であり紛らわしいだけです。