ケーリーハミルトンの定理を利用して、a^nを求めるんですが、いまいちケーリーハミルトンの定理が理解で

ケーリーハミルトンの定理を利用して、a^nを求めるんですが、いまいちケーリーハミルトンの定理が理解できていないので教えて欲しいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/21 21:43

正方行列 A と、それと同寸の単位行列 E に対して、

det(xE-A) はスカラー変数 x の多項式となり、
A の特性多項式(または固有多項式)と呼ばれます。
A のスカラー体を K として、行列環 K[A] は K 上の可換環なので、
多項式環 K[x] から K[A] への準同型が考えられます。
準同型の中で x を A へ移すものは、x に A を代入したとみなすことができ、
これによってスカラー変数の多項式であった特性多項式に
x = A を代入したものを考えることができるようになります。
その意味で、A の特性多項式が φ(x) であるとき φ(A)=O が成り立つ
というのが、「ケイリー・ハミルトンの定理」です。(右辺の O は零行列です。)

A が２次行列の場合だけは、昔は高校の教科書にも載っていました。
A =
　a　b
　c　d　　のとき、
A の特性方程式は det(xE-A) = x^2 - (a+d)x + (ad-bc) なので、
A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O が成り立ちます。

この式は、A の多項式のひとつである A^n の次数下げに使えるので、
A^n = (スカラー)A + (スカラー)E という形へ変形することができます。
x^n を x^2 - (a+d)x + (ad-bc) で割る計算をして、
x^n = { x^2 - (a+d)x + (ad-bc) }(ｘの多項式) + (xの多項式)
としたとろへ x = A を代入すればよいです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/21 12:31

a,b

c,d
と言う行列を＝Ａと表すとします

Ａと言う行列があった場合その成分a,b,c,dを用いて
Ａ²-(a+d)A+(ad-bc)E＝Ｏ (Ｅは単位行列、Ｏは零行列）と言う関係が成り立つ　これをハミルトン・ケーリー（またはケーリーハミルトン）の定理と呼びますよね（以下ＨＣ定理と表記させてもらいます）
ただし、Ａ²-(a+d)A+(ad-bc)E＝Oならば
Ａの成分は
a,b
c,d
という事は成り立ちません（ＨＣ定理の逆は成り立たない）

このことは実際に成分計算してもらえば確かに＝Ｏとなることが確認できます
Ａ²とＡとＥの関係式となっているので、ＨＣを用いると高次の行列の次数を下げるのに便利です

では実際に適用です
（１）　成分はa=1,b=1,c=-1,d=3ですからＨＣにより
A²-(1+3)A+(1x3+1x1)E=A²-4A+4E=O
⇔A²-2A=2A-4E=2(A-2E)…①
両辺にＡを掛けると
A(A²-2A)=A{2(A-2E)}
Ａ³-2A²=2(A²-2A)
右辺を①でおきかえると
Ａ³-2A²=2・2(A-2E)
両辺に再度Ａを掛けて①を用いると
A⁴-2A³=2・２・２(A-2E)…②
以下同じことを繰り返して
A^(n+1)-2A^n=2^n(A-2E) ・・・（この式のルール→②などを参考にすると左辺の２Ａの右肩の乗数と、右辺２の乗数が一致！）

（２）
（１）を利用です
A^(n+1)-2A^n=2^[n](A-2E)
数列の漸化式の解き方と同様で、この型の漸化式には両辺2^n+1で割るのが良さそうです
{A^(n+1)/2^(n+1)}-{A^n/2^n)=(1/2)(A-2E)
A^n/2^n=B^ｎとおくと
B^(n+1)-B^n=(1/2)(A-2E)
これは等差数列的！
ゆえに、B^n=B¹+(n-1)(1/2)(A-2E)
ここから、B^nを求め、A^ｎ＝(2^n)B^nとすれば良さそうです

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/12/21 09:17

A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E=O

が必ず成り立つので、公式として覚えてしまいましょう
というのがケーリーハミルトンの定理です

A^2=(a+d)A - (ad-bc)E
とでも変換して使うのが一般的かと
今回なら
A^2-2A=2(A -2E)
とでも変換したらどうにかなるでしょう、きっと