フェルマーの最小時間の原理について

(質問の内容に直接関係のない幾つかの具体的な部分は省略して、)屈折率nの媒質の点pから屈折率mの媒質の点qを光線が通るとき、境界面の点aは光学的な距離が最小になるような点になる。
光学的距離L(x)=n{(x-x(p))^2+y(p)}^(1/2)+m{(x-x(q))^2+y(q)}^(1/2)...(この場合、当然最小値＝極値)
dL(x)/dx=nsinθ(n)-msinθ(m)
よって、dL(x)/dx=0のとき、光学的距離も最小であるから、nsinθ(n)＝msinθ(m)(スネル‐デカルトの法則)が成り立つ。

ここまでは良いのですが、下の注釈に、厳密にいえばフェルマーの最小時間の原理は「光は伝搬に要する時間が極値となるような道を選ぶ」である、と書いてあります。
数学的にいえばそうですが、これは物理なので、「極値＝極大値」となるような光学的現象ってあるのでしょうか？
無ければ、「光は伝搬に要する時間が極値となるような道を選ぶ」という話は数学的に解釈した場合だけの話であって、物理的には間違っていると思います。

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2019/12/24 17:21

#1です。

極小ではあるのだと思ってましたが、(条件付きですが)最大の光学距離の経路をとる場合もあるようですね。

xy平面上の単位円(の内側)に鏡があって、円の内側点A(a,0)があるとします。(0<a<1)

Aから発射された光が1度だけ鏡に反射しAに戻る経路を考えると、
A→(1,0)→A
A→(-1,0)→A
この二つが実際に起こる経路になるはずですが、
鏡以外では直進、鏡を1度だけ通るという経路に限れば前者が最小、後者が最大の光学距離の経路になっています。
鏡以外で直進以外の経路も考えて後者は鞍点と言った方がいいかもしれませんが、いずれにしても常に最小という認識が正しくないのは明らかでしょう。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/23 16:11

その本のその注釈には、極大もあり得て、最小であるとは限らない

と書いてあるのでしょうか？

元の文脈が不明ですか、最小を否定しているなら誤りでしょう。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2019/12/23 15:13

#1です

>極値でない場合があるとわざわざ書いたのは
すいません。極値とわざわざ書いたのは の誤記です。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2019/12/23 14:53

極値でない場合があるとわざわざ書いたのは、(極小ではあるけど)最小値でない場合があるからですね。

鏡や蜃気楼などで、同じものが二個に見える場合を考えてみてください。