フーリエ級数展開からフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を導けるのでしょうか？ 導けるならば、過程の式

フーリエ級数展開からフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を導けるのでしょうか？
導けるならば、過程の式を教えて下さい。
また、2πと2Lの時でフーリエ級数展開の式が違いますが、なぜ違うのでしょうか？
そして、2πのグラフと2Lのグラフをフーリエ級数展開を用いて式を求める時の2πの時の式と2Lの時の式をフーリエ級数展開からどうやって求めるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/24 18:25

1.

そうです。下記のサイトに書いてあります。f(x)が偶関数なら余弦、奇関数なら正弦となります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC …

2.
上のサイトは面倒なので、普通に[-π,π]の区間のフーリェ級数を考える([-L/2, L/2]でも同様)。

・　f(x)が奇関数の時( f(x)=-f(-x) )
ak=(1/π)∫[-π,π] f(x) cos nx dx=(1/π){∫[-π,0] f(x) cos nx dx+∫[0,π] f(x) cos nx dx}
・・・・第一項を y=-x と変数変換して
=(1/π){∫[π,0] f(-y) cos n(-y) dy+∫[0,π] f(x) cos nx dx}
=(1/π){-∫[0,π] f(y) cos ny dy+∫[0,π] f(x) cos nx dx}=0

つまり、bkの項しか残らない。

・　f(x)が偶関数の時( f(x)=f(-x) )
bk=(1/π)∫[-π,π] f(x) sin nx dx=(1/π){∫[-π,0] f(x) sin nx dx+∫[0,π] f(x) sin nx dx}
・・・・第一項を y=-x と変数変換して
=(1/π){∫[π,0] f(-y) sin n(-y) dy+∫[0,π] f(x) sin nx dx}
=(1/π){-∫[0,π] f(y) sin ny dy+∫[0,π] f(x) sin nx dx}=0

つまり、akの項しか残らない。

3.
区間 [-π,π]の展開に対して
f(x)=a₀/2+Σ[k=1,∞] {ak cos kx+ bk sin kx}

区間 [-L/2,L/2]のときは、変数変換 x=(2π/L)y とすると
f(x)=f((2π/L)y)=a₀/2+Σ[k=1,∞] {ak cos (2πky/L)+ bk sin (2πky/L)}
となり、改めて、f((2π/L)y)=F(y) と置けばよい。

ak=(1/π)∫[-π,π] f(x) cos kx dx=(1/π)∫[-L/2,L/2] f((2π/L)y) cos 2πky/L (2π/L)dy
=(2/L)∫[-L/2,L/2] F(y) cos 2πky/L dy
など。

この回答へのお礼

わかりにくいです。

お礼日時：2020/01/01 21:15

No.2 回答者： HONTE 回答日時： 2019/12/25 19:50

で、

明日の昼飯
なんにする？