なぜこの公式になるのか教えてください。(点と直線)

なぜこの公式になるのか教えてください。(点と直線)

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/17 11:54

L（ax+by+c=0)…1と原点の距離dは

OからLに下した垂線の足をOHとすると
d=OHです
また①とOHは直行することからOHの式は
OH:bx-ay=0…②
Hの座標は①②の交点だから連立方程式を解いて
H(xo,yo)=（-ac/a²＋b²,-bc/a²＋b²)です
ゆえにd=OH=√(xo²+yo²)=√c²/√(a²+b²)=|c|/√(a²+b²)

次にP(x1,y1)と直線1 の距離Dは
Pと①を画像のように平行移動してやると
PはOにうつりLはそれと平行な直線L'にうつります
L'の方程式はa(x+x1)+b(y+y1)+c=0…３
すなわち　ax+by+(ax1+by1+c)=0
この式で(ax1+by1+c)は定数です
①の定数部分はCですから平行移動によって③は定数部分だけが(ax1+by1+c)に置き換わったことになります
DはOとL'の距離に等しいから先ほど求めたOHの式において
Cをax1+by1+cに置き換えるだけでよいということになるので
D=|ax1+by1+c|/√(a²+b²)

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/01/17 11:20

点A(x₀,y₀) と直線ｌ:ax+by+c=0 の距離ｄは、

d=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)

点O(0,0) と直線：ax+by+ax₁+by₁+c=0 の距離ｄは、
ｄ=|a・0+b・0+ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)
=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)