以下の問題で分からない部分があります。

問題は、解説の【注】の部分です。
解説の画像は
x≧1のとき、
2√(x-1)=(1/2)|x-k|を両辺二乗すると、
同値性が崩れる

と解説に書かれていた
のですが、
何故、同値性が崩れるのかが分かりません。

x≧1のときなので、左辺は0以上で、
右辺は、絶対値なので、x-kの値を非負にした値なので、正であり、両辺とも0以上なので、二乗しても同値性は崩れないと思うのです。

両辺2乗してみると、
4(x-1)=(1/4)(x^2-2kx+k^2)
で、同値性の意味を考えると、
もし同値性が崩れるとしたら、
この両辺を1/2乗したときに元の式以外の式にもなり得る、ということになりますが、一意に
2√(x-1)=(1/2)|x-k|
としかならないので、問題ないと思うのです。

ご教示のほど宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

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  画像が小さいようなので、補足で添付致します。

  
    補足日時：2020/02/16 00:34

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  画像が小さいようなので、補足で添付致します。

  
    補足日時：2020/02/16 00:35

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/02/16 01:16

>　x≧1のときなので、左辺は0以上で

とあるように、その場合は同値性は崩れないですね。

ただ、問いの回答であるように、
2√(x-1)=(1/2)|x-k|　のような式の両辺を2乗した場合、全体として同値性が崩れる場合もあるので、その確認をしないといけないです。

意外と見落とされたり、マークシートでは必要ないようなことなのですが、
特に筆記試験では、2乗をすると同値性の検証はしておかないといけないです。


このような質問でも削除依頼を出す人が居るので、なるべく早く写して下さいね。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/16 03:06

2√(x-1) = (1/2)|x-k| と

4(x-1) = (1/4)(x^2-2kx+k^2) は、同値な式ではありません。
x≧1 の条件下では同値ですが、
上の式は √(x-1) が入っていて x≧1 を含意するのと異なり、
4(x-1) = (1/4)(x^2-2kx+k^2) には x<1の x でも代入できてしまいます。

あなたも指摘している「x≧1のときなので」を書き添えて、
その条件下に同値であることを明示する必要があります。
それがしてあれば、【注】に書いてあるような
「確かに接している」の呪文は不要だと思います。