なぜ写真のような場合分けをするのか分かりません。 どなたか教えて頂けたらうれしいです(> <)

なぜ写真のような場合分けをするのか分かりません。
どなたか教えて頂けたらうれしいです(> <)

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/02/27 10:11

この関数は、ｎ→∞で定義されていますが、極限をとる前の式を見てください。

(n sin 2x +1)/(n cos²x +1) は、分母と分子にｎが入っていますが、cos²x=0 のときだけは、分母にｎがない式になり、他の場合とは大きく変わるので場合分けします。
[1] cos²x=0 のとき
x=π/2+ｋπ　(k は整数)となりますが、このとき、sin 2x も０になるので分子のｎも消えます。
ｙ＝lim (ｎ→∞) (n sin 2x +1)/(n cos²x +1) =lim (ｎ→∞) 1/1=1

[2] cos²x≠0 のとき、つまり、x≠π/2+ｋπ　(k は整数) のとき、
ｙ＝lim (ｎ→∞) (n sin 2x +1)/(n cos²x +1)
=lim (ｎ→∞) (sin 2x +1/n)/(cos²x +1/n)
= sin 2x / cos²x
=2 tan x