ローラン展開の式をわかりやすく導くようなサイトはありますか？

ローラン展開の式をわかりやすく導くようなサイトはありますか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/10 19:39

ローラン展開のことを詳しく教えてくれるサイトならありますが、

関数を入力してローラン展開をやってくれるサイトとか
手計算でローラン展開する方法を教えてくれるサイトは
無いのではないかと思います。
与えれれた関数を、こうやればローラン展開できるという
決まった手順は無いからです。その点は、テイラー展開とは事情が全く違います。

関数 f(x) が x=a において正則であれば、f(x) は x=a を中心にテイラー展開できます。
テイラー展開が可能な場合は、ローラン展開はそのテイラー展開と同じ式です。

f(x) が x=a で正則でない場合でも、x=a が f(x) の極であれば、ローラン展開は簡単です。
x=a が f(x) の極であるとは、f(x)・(x-a)^k が正則になるような自然数 k が在る場合で、
その場合、そのような k の最小値を m として x=a は f(x) の m 位の極であるといいます。
x=a が f(x) の m 位の極である場合、f(x) の x=a 中心のローラン展開は、
f(x)・(x-a)^m を x=a 中心にテイラー展開して、その式の両辺を (x-a)^m で割ればいい
ことになります。極でのローラン展開は、級数の負数次の項が有限個であることが特徴です。

x=a で f(x) が正則でなく、極でもない場合を、x=a は真性特異点であるといいます。
真性特異点でのローラン展開は、一般に難しく、この手順でやれば計算できるといった
決まった方法はありません。ひとつひとつの関数について何とか工夫して計算するしかないのです。