ラグランジュの問題について、教えて下さい。

最適化問題について、答え合わせをして頂けると嬉しいです。また、私の計算間違えや質問をいくつか教えて頂けると有り難いです。
2x - y >= 0,
1 -x -y <= 0
のもとで、
x^2ーy の最小値を求めるとき、
（１）ラグランジュ型を描きなさい。
（２）１次のカルーシュ・クーン・タッカー条件を満たす点を全て計算しなさい
（３）どの点が最小値をとる点かを見つけなさい。極小値と極大値を見つけなさい。

という問題を解いています。

(1)
L(x、y、μ1、μ２）
＝x^2ーy + μ1( 2x - y ) + μ２( -1 +x +y )
という書き方をしました。
この形がラグランジュ型と呼ばれて居るものだと思うのですが、合っていますでしょうか。

(2)
_(ⅰ)μ1＝０,μ2＝０ のとき
x＝1, y=(解なし）
この場合、この条件下では最小値はない、という事でしょうか。それとも、この条件は関数（ x^2ーy ）に存在しない、という意味でしょうか。

_(ii) μ1＝０, 2x-y=0 のとき
x=- ( 1/2 )
y= 3/2
μ2=1

_(iii) μ2＝０, -1 +x +y =0 のとき
x=1
y=2
μ1= -1

_(iv) 2x-y=0, -1 +x +y =0 のとき
x= - (1/3)
y= 2/3
μ1= -9/5 , μ2=4/9


（３）
ーーー最小値ーーー
条件(ii)のとき(x=- ( 1/2 ) y= 3/2)
f(x,y)=-5/4

ーーー極小値ーーー
条件(iii) μ2＝０, -1 +x +y =0 のとき
f(x,y)=-1
条件(iv) 2x-y=0, -1 +x +y =0 のとき
f(x,y)=-9/5

となる、と考えたのですが、
wolfram で計算をしてみたところ、
https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x …

条件(iii) μ2＝０, -1 +x +y =0 のとき
f(x,y)=-1

が最小値になると出てきました。
私の計算が間違って居る場所を教えて頂けないでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/15 12:05

ラグランジュ のほうからたどると、等式制約の話ばかりが出てきますが、

カルーシュ・クーン・タッカー で検索すれば、参考になる文章が見つかります。
これ↓なんかどうですか？
https://www.iwanttobeacat.com/entry/2018/01/30/2 …
http://www2.kaiyodai.ac.jp/~yoshi-s/Lectures/Opt …

(1)
「ラグランジュ型」という言葉は聞いたことがないなあ。
"Lagrange form" の訳か何かなんでしょうか？
それだったら「ラグランジュ形」だろうし、普通は「ラグランジュ関数」ですよね。
ラグランジュ関数の意味で言っているなら、その式でokです。
あるいは、出典が「ラグランジュ型」だとか「カルーシュ・クーン・タッカー条件」だとか
ずいぶん公式暗記主義的な文献のようなので、制約条件の式を
g(x,y)≧0 に揃えるとか g(x,y)≦0 に揃えるとか、細かいお作法があるのかもしれません。
しらんけど。

(2)
カルーシュ・クーン・タッカー条件については、上に挙げたリンク先のとおりです。
あなたの(1)に沿って書けば、
∇L = (2x,-1) + μ1(2,-1) + μ２(1,1) = (0,0),
μ1(2x-y) = 0,　μ1 ≦ 0,　2x-y ≧ 0,
μ２(-1+x+y) = 0,　μ2 ≦ 0,　-1+x+y ≧ 0.　です。

(i) μ1 = μ2 = 0 の場合
KKT条件を満たす x,y,μ1,μ2 の組は存在しません。

(ii) μ1 = 2x-1 = 0 の場合
x = -1/2, y = 3/2, μ2 = 1 と計算できますが、
この解は μ2 ≦ 0 を満たしません。
KKT条件を満たす x,y,μ1,μ2 の組は存在しません。

(iii) μ2 = -1+x+y = 0 の場合
あなたの計算どおり
x = 1, y = 2, μ1 = -1 がKKT条件を満たします。

(iv) 2x-y = -1+x+y = 0 の場合
x = -1/3, y = 2/3, μ1 = -5/9, μ2 = 4/9 と計算できますが、
この解は μ2 ≦ 0 を満たしません。
KKT条件を満たす x,y,μ1,μ2 の組は存在しません。

以上より、
KKT条件を満たす点は(ii)の (x,y) = (1,2) のみです。

(3)
上記(2)により、
(x,y) = (1,2) に対する x^2-y = -1 が唯一の極値です。
それ以外の (x,y) に対する x^2-y の値
例えば (x,y) = (0,0) に対する x^2-y = 0 などを見れば
この極値が極小値であることが判りますから、
(x,y) = (1,2) に対する x^2-y = -1 が最小値です。

あなたの間違いは、カルーシュ・クーン・タッカー条件に含まれる
μ1 ≦ 0, μ2 ≦ 0 を忘れていたことだと思います。
この不等号の向きは、不等式制約を g(x,y) ≧ 0 と書くか
g(x,y) ≦ 0 と書くかで逆になりますから、その点も注意しましょう。

この回答へのお礼

回答本当に有り難うございます。
また、カルーシュ・クーン・タッカー条件についてのリンクや説明も有り難うございます。
ウィキペディアで私は初め調べたのですが、「スラック関数」と言うものが紹介されており、これは、ありものがたり様の回答のμ1 ≦ 0, μ2 ≦ 0 にあたるものなのか、気になったのですが、何かご存知ではありませんでしょうか。
本当に有り難うございます。

お礼日時：2020/03/19 03:16

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/19 11:19

μ1, μ2 は、「ラグランジュの未定乗数」です。

「スラック変数」は通常、線形計画法で使う言葉ですが、
この問題では μ1(2x-y), μ２(-1+x+y) がそれにあたると思います。