xの二次方程式x^2+(2m+5)x+m+3=0が、整数解‪α‬、βをもつようなmの値を全て求めよ。

xの二次方程式x^2+(2m+5)x+m+3=0が、整数解‪α‬、βをもつようなmの値を全て求めよ。

という問題なんですが、

回答では、解と係数の関係から式を2つだして、mを消して、‪α‬の式×βの式=3に変形して、‪α‬とβを特定して、mを出してました

これは僕も同じことをしたんですけど、これをする前に僕はかいを持つ条件として、判別式でｍの範囲を絞りました、結果的には答えは変わりませんでしたが、判別式を使わなくていい理由を教えてください

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/04/26 12:50

(判別式)＞0 と云う事は、二次方程式が 二つの異なる実数解をもつ と云う事です。

xの二次方程式x^2+(2m+5)x+m+3=0が、整数解‪α‬、βをもつ と云う事は、
x²+(2m+5)x+m+3=(x-α)(x-β）と因数分解できる と云う事です。
(x-α)(x-β)=x²-(α+β)x+αβ で、判別式は (α+β)²-4αβ=(α-β)² となり、
異なる二つの解ならば 判別式は 必ず 正 になります。
従って、特に判別式を吟味する必要がなくなります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/26 09:32

二次方程式は複素数の範囲に必ず解を持つので、

解を α, β と置いたのであれば α, β は実数または虚数です。
「α‬の式×βの式=3に変形して、‪α‬とβを特定して」のときに、
α‬, β を特定するために、右辺の ３ を素因数分解して
α‬, β が整数であることを利用しましたね？ これが判別式が要らない理由です。
整数であれば、実数であり、α‬, β は虚数ではありません。
α‬, β を特定した時点で、判別式が負でないことはもう決まっていいるのです。