(4)でなぜcosxsin^4xが偶関数なのかと、その後の変形がわからないので教えて欲しいです。基礎

(4)でなぜcosxsin^4xが偶関数なのかと、その後の変形がわからないので教えて欲しいです。基礎的ですみません、数Ⅲ独学で終わらせないといけなくて、、

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/05/09 23:13

cosx：偶関数

sinx：奇関数
(sinx)^2≧0：偶関数
(sinx)^4≧0：偶関数

偶関数×偶関数=偶関数

No.4 回答者： springside 回答日時： 2020/05/10 07:52

基礎的、あまりにも基礎的。

・cosxが偶関数で、sin⁴xも偶関数だから、それらの積は偶関数に決まっている。

・被積分関数f(x)が偶関数なら、∫[-a→a]f(x)dx=2∫[0→a]f(x)dxというだけのこと。

・次の変形は、置換積分をいちいち書かずに頭の中でやっているということ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/10 00:01

前半：

偶数関数の定義を確認。 f(x) が偶関数だとは、
全ての x について f(-x) = f(x) であることです。
f(x) = (cos x)(sin x)^4 は、どうですか？
f(-x) = (cos -x)(sin -x)^4 = (cos x)(- sin x)^4 = (cos x)(sin x)^4 = f(x).
偶関数ですね。

後半：
偶関数 f(x) について、 ∫[-a,a]f(x)dx = 2∫[0,a]f(x)dx が成り立ちます。
∫[-a,a]f(x)dx = ∫[-a,0]f(x)dx + ∫[0,a]f(x)dx　と
∫[-a,0]f(x)dx = ∫[a,0]f(-y)(-dy)　； y = -x と置いた
= ∫[0,a]f(-y)dy = ∫[0,a]f(y)dy　　； 偶関数だから
により、
∫[-a,a]f(x)dx = ∫[0,y]f(y)dy + ∫[0,a]f(x)dx = 2∫[0,a]f(x)dx
だからです。

偶関数に似たものに「奇関数」があります。
f(x) が奇関数だとは、
全ての x について f(-x) = -f(x) であること。
奇関数 f(x) について、 ∫[-a,a]f(x)dx = 0 が成り立ちます。
上記と同様に示してみてください。

これを知っておくと、定積分の計算がガサッと楽になる場合があります。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/05/09 23:43

ああ、もう一つの質問があったね。

合成関数の微分の逆をやってる。
(f(g(x)))'=f'(g(x)) × g'(x)

今回の場合、f(t)=(1/5)t^5, t=g(x)=sinxにあたる。
f'(t)=t^4
g'(x)=cosx
f'(g(x)) × g'(x)=(sinx)^4 × (cosx)

積分だと、
∫(sinx)^4 cosx dx
=∫(sinx)^4 (sinx)' dx
=(1/5)(sinx)^5

となる。

これで、分からなかったら、t=sinxとして置換積分をやってみて。