二項間漸化式
①式:a(n+1)=(-2)×a(n)+5×(-2)^(n-1)
を解く際に、
②式:g(n+1)=(-2)×g(n)+5×(-2)^(n-1)
を満たすようなg(n)を考えると、
①式-②式より、
a(n+1)-g(n+1)=(-2)×{a(n)-g(n)}
なので、
a(n)={a(1)-g(1)}×(-2)^(n-1)+g(n)
となる。
ここで、g(n)=A×(-2)^(n-1)とおくと、
②式⇔A×(-2)^(n)=(-2)×A×(-2)^(n-1)+5×(-2)^(n-1)
⇔A×(-2)×(-2)^(n-1)=(-2)×A×(-2)^(n-1)+5×(-2)^(n-1)
⇔5×(-2)^(n-1)=0
となってしまい、恒等式に持ち込めず、Aを求めることが出来ません。
どこで間違っているのでしょうか??
ご教示宜しくお願い致します。
No.1
- 回答日時:
②式は①の数列名を変えただけなので無意味だよ。
この漸化式の解き方はこんな感じ。
a[n+1]=(-2)×a[n] + 5×(-2)^(n-1)
両辺を(-2)^nで割ると、
a[n+1]/(-2)^n=((-2)×a[n])/(-2)^n + (5×(-2)^(n-1))/(-2)^n
a[n+1]/(-2)^n=a[n]/(-2)^(n-1) - (5/2)
b[n]=a[n]/(-2)^(n-1)とすると、
b[n+1]=b[n] - (5/2)
となり、公差-5/2の等差数列となる。
b[n]=b[1]+(n-1)×(-5/2)
a[n]/(-2)^(n-1)=a[1]/(-2)^(1-1) + 5(n-1)/(-2)
a[n]/(-2)^(n-1)=a[1] + 5(n-1)×(-2)^(-1)
a[n]=a[1]×(-2)^(n-1) + 5(n-1)×(-2)^(n-2)
初項a[1]は質問に示されていないので、ここまで。
No.3
- 回答日時:
あなたが持ってきたg(n)は、a(n)と同じ漸化式を満たしている訳だから、g(n)=a(n)なので、
a(n+1)-g(n+1)=(-2)×{a(n)-g(n)}
という式は、0=0という(当たり前で無意味な)式になる。
したがって、a(n)-g(n)が等比数列ということにはならない。
(a(n)-g(n)=0だから、0=(-2)×0ということ)(→下記※※)
この形の漸化式の場合は、両辺を(-2)^(n+1)で割ることを考える。すると、
左辺 = a(n+1) / (-2)^(n+1)
右辺 = a(n) / (-2)^n + (5/4) ※
になるから、a(n) / (-2)^n = b(n)とでも置くと、
b(n+1)=b(n)+(5/4)
となって、b(n)は等差数列だから、すぐにb(n)が判り、そして、すぐにa(n)が判る。
※:
5×(-2)^(n-1) / (-2)^(n+1) = 5×(-2)^{(n-1)-(n+1)} = 5×(-2)^(-2) = 5/4
※※:
全く別の例だが、あなたのやっていることは、
3×0=2×0
の両辺を0で割って、
3=2
とやっているようなもの。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
g(n) が a(n) と同じだと言っている人がいるが、それは違う。
漸化式を満たす特定の g(n) を見つけると
数列 a(n)-g(n) が満たす漸化式が原式より簡単なことで
全ての a(n) が見つかるという考え方は、悪くない。 というより、
非斉次線型漸化式の解き方としてオーソドックスなものだ。
a(n) が一般解、g(n) が特殊解というわけだ。
質問文中の解法の難点は、 No.2 のいうとおり、
g(n) = A(-2)^(n-1) という見積もりが当たってなかったことにある。
そこで食い下がって g(n) = (An+B)(-2)^(n-1) を試してみていれば、
正解にたどり着くことができたのにね。
特殊解とか十分条件を1個見つけようという戦略では、
山勘力と根性が大切だよって話。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
xが分子の足し算、どうやるんで...
-
なぜ両辺が負の時に両辺を二乗...
-
指数方程式についてです。 2^x+...
-
[三角系ABCにおいて、a=1+√3 ,...
-
3のn-1乗はどうやって解けばよ...
-
54mm×86mmは何対何ですか?
-
2のX乗+2の−X乗の解き方がわ...
-
-0.1と-0.01ってどっちが大き...
-
大きい数の連立方程式がわかり...
-
一次不定方程式(ユークリッド...
-
整数に関する問題の解き方を教...
-
整数係数とは?
-
逆数をとるということ
-
分数計算のバツがけについてです。
-
不等式について
-
不等式の扱い方
-
複素数の問題で質問があります
-
数学の問題です。 6π=2π×9× a ...
-
数B青チャの解説部分で教えて...
-
漸化式
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
xが分子の足し算、どうやるんで...
-
なぜ両辺が負の時に両辺を二乗...
-
2のX乗+2の−X乗の解き方がわ...
-
指数方程式についてです。 2^x+...
-
-0.1と-0.01ってどっちが大き...
-
3のn-1乗はどうやって解けばよ...
-
答えが2になる複雑な数式を探...
-
一次不定方程式(ユークリッド...
-
不等式について
-
大きい数の連立方程式がわかり...
-
数学ではよく、両辺を2乗します...
-
平方根を取る とはどういう...
-
2乗しても同値性が崩れないと...
-
恒等式の両辺を微分して得られ...
-
54mm×86mmは何対何ですか?
-
中二 方程式 18/100 × (300+x) ...
-
a1=1 , an+1 = √1+an (n=1...
-
中学生の数学
-
基礎問題精講 数学ⅠA 127 (2)が...
-
√(-1)=±iですか?iは虚数単位...
おすすめ情報