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工業力学についてです。

水平に発射された弾丸が、速度v0で液体に追突した。液中における弾丸の加速度はa=-kv^2で表される。kは抵抗係数、vは弾丸の速度を示す。弾丸は鉛直方向には運動しないものとする。弾丸の速度がv0/2となるまでに進んだ距離dと、それに要する時間tを求めよ。
という問題でこの問題では、質量が与えられていないのですが、解くことはできるのでしょうか?できるのであれば、解き方を教えてください。

A 回答 (2件)

こうやるのかな。

質量は不要です。

時刻tにおける弾丸の速度をv(t)、加速度をa(t)とすする。
速度v(t)を時刻tで微分すると加速度になるから、
(d/dt)v(t)=a(t)
であり、
題意によりa(t)=-kv(t)²であるから、
(d/dt)v(t)=-kv(t)²
である。(この微分方程式を解く)

これを変形すると、
∫1/v(t)²dv=∫(-k)dt
となるから、両辺の積分を計算して、
-1/v(t)=-kt+C1 (C1は積分定数)
1/v(t)=kt+C2 (C2は積分定数)
v(t)=1/(kt+C2)

今、v(0)=v0なので、C2=1/v0
∴v(t)=v0/(v0kt+1)

v(t)がv0/2になる時刻をTとすると、v0/(v0kT+1)=v0/2なので、T=1/v0k

よって、d=∫[0→1/v0k]v(t)dt=∫[0→1/v0k]{v0/(v0kt+1)}dt=v0[1/v0k | log(v0kt+1) |] [0→1/v0k] = (log2)/k
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2020/05/18 20:27

水平速度から液中における加速度を引くことで算出できます。



水平移動距離は発射速度×秒数 そこから加速度(この場合はマイナスの加速度になる)を引けば算出可能。kは抵抗計数ですので数値が与えられていなければそのままkで表しておきます。水平に発射された弾丸は常に等速直線運動をし、加速度のv=v0です。

実際には水面に平行に発射された弾丸は水面で跳ね返り(石を水面に平行に投げると何度も水面で跳ね返る水切り現象)ますけどね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2020/05/18 20:27

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