工業力学についてです。 水平に発射された弾丸が、速度v0で液体に追突した。液中における弾丸の加速度は

工業力学についてです。

水平に発射された弾丸が、速度v0で液体に追突した。液中における弾丸の加速度はa=-kv^2で表される。kは抵抗係数、vは弾丸の速度を示す。弾丸は鉛直方向には運動しないものとする。弾丸の速度がv0/2となるまでに進んだ距離dと、それに要する時間tを求めよ。
という問題でこの問題では、質量が与えられていないのですが、解くことはできるのでしょうか？できるのであれば、解き方を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/05/18 18:53

こうやるのかな。

質量は不要です。

時刻tにおける弾丸の速度をv(t)、加速度をa(t)とすする。
速度v(t)を時刻tで微分すると加速度になるから、
(d/dt)v(t)=a(t)
であり、
題意によりa(t)=-kv(t)²であるから、
(d/dt)v(t)=-kv(t)²
である。（この微分方程式を解く）

これを変形すると、
∫1/v(t)²dv=∫(-k)dt
となるから、両辺の積分を計算して、
-1/v(t)=-kt+C1　（C1は積分定数）
1/v(t)=kt+C2　（C2は積分定数）
v(t)=1/(kt+C2)

今、v(0)=v0なので、C2=1/v0
∴v(t)=v0/(v0kt+1)

v(t)がv0/2になる時刻をTとすると、v0/(v0kT+1)=v0/2なので、T=1/v0k

よって、d=∫[0→1/v0k]v(t)dt=∫[0→1/v0k]{v0/(v0kt+1)}dt=v0[1/v0k | log(v0kt+1) |] [0→1/v0k] = (log2)/k

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/05/18 20:27

No.2 回答者： 三上卓 回答日時： 2020/05/18 19:08

水平速度から液中における加速度を引くことで算出できます。

水平移動距離は発射速度×秒数　そこから加速度（この場合はマイナスの加速度になる）を引けば算出可能。ｋは抵抗計数ですので数値が与えられていなければそのままｋで表しておきます。水平に発射された弾丸は常に等速直線運動をし、加速度のｖ＝ｖ０です。

実際には水面に平行に発射された弾丸は水面で跳ね返り（石を水面に平行に投げると何度も水面で跳ね返る水切り現象）ますけどね。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/05/18 20:27