人に聞けない痔の悩み、これでスッキリ >>

温度Tで、質量mのバネがボルツマン分布する時の平均のエネルギー<E>を知りたいのですが、


<E>=∬Eexp(―E/kT)dxdp/∬exp(―E/kT)dxdp
    
    (kはボルツマン定数、pはX方向の運動量、E=1/2・a2乗・ω2乗)


の解き方がよくわかりません。どうしたら、いいんでしょうか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

siegmund です.



量子的にやるなら,n 番目の固有状態(n = 0,1,2...)のエネルギーが
(7)  E_n = [n + (1/2)] (h/2π)ω
ですから,分配関数 Z が
(8)  Z = Σ_{n=0}^∞ exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}  β = 1/kT
     = exp[- β (h/2π)ω/2] Σ_{n=0}^∞ exp{- β(h/2π) ω}^n
ですから,無限等比級数の和ですぐ求められます.
ちょっと整理して
(9)  Z = 1 / {2 sinh [β(h/2π)ω/2] }
で,あとは公式(6)を使えばOKです.
結果は
(10)  U = (h/2π)ω/2 + (h/2π)ω/{exp[β(h/2π)ω] - 1}
で,β→0 (kT→∞)とすると,古典の場合に戻ります.

直接 U を和の形に書くなら
(11)  U = (1/Z) Σ_{n=0}^∞ [n + (1/2)] (h/2π) ω exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}
ですが,和のところは本質的に Z のβ微分で出てきます.
ここら辺を整理したのが公式(6)になっています.
    • good
    • 0

表記からして,調和振動子は古典的(量子的でなく)扱うのですね.


統計力学の基本的問題です.

まず,答はエネルギー等分配則から直ちにわかります.
エネルギー等分配則は,
1自由度あたり (1/2)kT のエネルギーが分配されるというもの.
今,自由度は2(座標 x と運動量 p)ですから,
(1)  <E> = kT
です.

k---1 さんが書かれた式から導くのでしたら,
(2)  E = p^2 / 2m + m ω^2 x^2 / 2
ですから,x 積分と p 積分は分離できますね.
あとは,ガウス積分
(3)  ∫_{-∞}^{∞} exp(-c u^2) du = √(π/c)  (c>0)

(4)  ∫_{-∞}^{∞} u^2 exp(-c^2 u^2) du
がわかればよい.
(4)の積分は(3)の両辺を c で微分すれば直ちに求められます.

他には,分配関数
(5)  Z = ∫∫ exp(- E / kT) dx dp / h
を求めて(プランク定数 h で割るのを忘れないように),
統計力学の公式
(6)  U = <E> = -(∂/∂β) ln Z   (β=1/kT)
を使うという手もあります.

この回答への補足

回答ありがとうございます。もしよければ、量子的に扱う場合も教えて頂きたいのですがよろしいでしょうか。

補足日時:2001/08/10 00:10
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。すごく参考になりました。

お礼日時:2001/08/10 01:05

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q熱物理学で調和振動子の平均エネルギーU=<ε>について。

熱物理学で調和振動子の平均エネルギーU=<ε>について。

U=hω/(exp(hω/τ)-1)はどうやって求めるのでしょうか?

解りません。調和振動子なので、縮退度は1、エネルギーE=(0,1,2,・・∞)分配関数Z=1/(1-exp(-hω/τ))ですよね?

Aベストアンサー

ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。

調和振動子のエネルギーは普通は、

ε(n) = hω ( n + 1/2 )

ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、

ε(n) = hω n

で考えます。(n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味)

正準分布で、その実現確率 p(ε) は、

p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z

になります。β=1/τ=1/(k_B T)

Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))

は分配関数です。

調和振動子の平均エネルギーは、

U = <ε> = Σ_{n=0}^{∞} ε(n) p(ε(n))

となるのは良いですね。確率と期待値の関係です。

正準分布の確率の式を代入すると、

U = (1/Z) Σ_{n=0}^{∞} ε(n) exp(-βε(n))
 = - (1/Z) ∂/∂β [Σ_{n=0}^{∞} exp(-βε(n))]
 = - (1/Z) ∂Z/∂β
 = - ∂(log Z)/∂β

と書けます。これがANo.1さんのご回答にある式です。
よく使う式なので覚えておくとよいです。

そして具体的に代入してみると、

U = ∂/∂β log(1-exp(-βhω))
 = +hω exp(-βhω)/(1-exp(-βhω))
 = hω/(exp(-βhω)-1)

と求まります。

ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。

調和振動子のエネルギーは普通は、

ε(n) = hω ( n + 1/2 )

ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、

ε(n) = hω n

で考えます。(n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味)

正準分布で、その実現確率 p(ε) は、

p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z

になります。β=1/τ=1/(k_B T)

Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))

...続きを読む

Q分配関数(状態和)がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和?という感じです。
どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
 Z=ΣP(x)
  =P(1)+P(2)+…+P(6)
  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の1つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
e_0 の状態にある確率が exp(-βe_0)
e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む

Q電気分解でファラデー定数を求める

化学で硫酸の電気分解の実験をしました。
10分間の電気分解で,1分目は水素,2分目は酸素の発生した体積と電流値を測定しました。

レポートで実験結果よりファラデー定数を求めなければなりません。
レポートの問題には「なお,気体の体積については測定した室温を用い,理想気体の状態方程式を使い,標準状態(0℃,1気圧)での体積に換算しておくこと。圧力は1気圧としてよい」と書いてありました。

理想気体の状態方程式はPV=nRTですが,この公式をどう使えば標準状態での体積に換算できるのかがよく分かりません。
また,標準状態での体積を求められたとしても,どうやって実験結果からファラデー定数を求めるのかも分かりません。

教えてください。

Aベストアンサー

標準状態とはここでは0℃1気圧のこと.
実際には20℃だかの室温,1気圧で体積を測った.発生した気体を冷やして0℃にしたらどれだけの体積になるはずか.
温度変化だけで圧力は変化せず,気体の物質量が変動しないのだから,n は一定値で変化していない.なので,n を求めるまでもなく,0℃での温度に換算できる → シャルルの法則
一般に気体の体積は温度圧力に依存するために,標準状態換算の体積で示されることは,STPm3 等の単位で広く使われている.STP とは standard temperature and pressure の略である.この条件で m3 で測ったら,という数値である.
ただし,この場合の数値の意味は,体積というより物質量の意味になる.22.4 STPm3 = 1 kmol.
でも,高校化学であれば,単に状態方程式を使う練習の意味であろう.
n はもちろん室温での温度,体積,圧力の実測値から計算してよい.
n がわかれば,電子が何 mol 使われたかがわかる.
ファラデー定数とは,電子が 1mol あったときにどれだけの電気量を示すかという数値の意味がある.電子1個なら電気素量,1mol なら,ということ.
あとは要するに比例関係を理解できるかという問題.

標準状態とはここでは0℃1気圧のこと.
実際には20℃だかの室温,1気圧で体積を測った.発生した気体を冷やして0℃にしたらどれだけの体積になるはずか.
温度変化だけで圧力は変化せず,気体の物質量が変動しないのだから,n は一定値で変化していない.なので,n を求めるまでもなく,0℃での温度に換算できる → シャルルの法則
一般に気体の体積は温度圧力に依存するために,標準状態換算の体積で示されることは,STPm3 等の単位で広く使われている.STP とは standard temperature and pressure の略である.こ...続きを読む


人気Q&Aランキング