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A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
siegmund です.
量子的にやるなら,n 番目の固有状態(n = 0,1,2...)のエネルギーが
(7) E_n = [n + (1/2)] (h/2π)ω
ですから,分配関数 Z が
(8) Z = Σ_{n=0}^∞ exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω} β = 1/kT
= exp[- β (h/2π)ω/2] Σ_{n=0}^∞ exp{- β(h/2π) ω}^n
ですから,無限等比級数の和ですぐ求められます.
ちょっと整理して
(9) Z = 1 / {2 sinh [β(h/2π)ω/2] }
で,あとは公式(6)を使えばOKです.
結果は
(10) U = (h/2π)ω/2 + (h/2π)ω/{exp[β(h/2π)ω] - 1}
で,β→0 (kT→∞)とすると,古典の場合に戻ります.
直接 U を和の形に書くなら
(11) U = (1/Z) Σ_{n=0}^∞ [n + (1/2)] (h/2π) ω exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}
ですが,和のところは本質的に Z のβ微分で出てきます.
ここら辺を整理したのが公式(6)になっています.
No.1
- 回答日時:
表記からして,調和振動子は古典的(量子的でなく)扱うのですね.
統計力学の基本的問題です.
まず,答はエネルギー等分配則から直ちにわかります.
エネルギー等分配則は,
1自由度あたり (1/2)kT のエネルギーが分配されるというもの.
今,自由度は2(座標 x と運動量 p)ですから,
(1) <E> = kT
です.
k---1 さんが書かれた式から導くのでしたら,
(2) E = p^2 / 2m + m ω^2 x^2 / 2
ですから,x 積分と p 積分は分離できますね.
あとは,ガウス積分
(3) ∫_{-∞}^{∞} exp(-c u^2) du = √(π/c) (c>0)
と
(4) ∫_{-∞}^{∞} u^2 exp(-c^2 u^2) du
がわかればよい.
(4)の積分は(3)の両辺を c で微分すれば直ちに求められます.
他には,分配関数
(5) Z = ∫∫ exp(- E / kT) dx dp / h
を求めて(プランク定数 h で割るのを忘れないように),
統計力学の公式
(6) U = <E> = -(∂/∂β) ln Z (β=1/kT)
を使うという手もあります.
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