数学Iについて質問です。 少し問題で分からないところがあったので解説して欲しいです。 1.不等式x＋

数学Iについて質問です。
少し問題で分からないところがあったので解説して欲しいです。
1.不等式x＋1＞√2x-1を解け。またこの不等式を満たす自然数xを全て求めよ。という問題で、不等式を解いていって、(1-√2)x＞-2となり、x＜-2/1-√2となりそこから後の有理化で、x＜2(√2＋1)となるのが分かりません。そこからの答えまでの導き方を教えてください。

次は、xの連立不等式{ 9x-10＜11＋6x
{ 4x-3＞2x＋a
について次の問いに答えよという問題で
(1)のa＝5のとき連立不等式を満たす自然数xを求めよ。という問題はわかったのですが、(2)の連立不等式を満たす自然数xがちょうど3個存在するように、定数aの値の範囲を求めよ。という問題で、(1)で作ったものを使って
a＋3/2＜x＜7の不等式までは作れたのですがそこからどう答えに導けばいいのか分かりません。

回答お願いします。

No.7 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/05/22 08:24

9x-10<11+6x　①　の条件で、7>x　の上限が決まる。

x>(a+3)/2　②　の条件で下限が決まり、x>4　(1)の答えは　6と5　になった。
定数aの範囲を広げて、もう一つ分自然数を増やすことを考える。
だから、、自然数4を増やすために、②の値が　3<(a+3)/2≦4　であれば良いことになります。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/20 23:44

2.

連立不等式
　9x - 10 < 11 + 6x,　…①
　4x - 3 > 2x + a.　　…②
を満たす自然数 x がちょうど3個存在する。

① を満たす x は、x < 7.

これと ② を連立したとき解となる自然数が 3個だということは、
その 3個は 4, 5, 6 で、
② の解は b < x (ただし 3 ≦ b < 4) という形をしている。

② を解くと x > (a+3)/2 なので、
求める a は 3 ≦ (a+3)/2 < 4 の解である。

これを解いて、
6 ≦ a+3 < 8,
3 ≦ a < 5.

No.5 回答者： nasdaq000 回答日時： 2020/05/20 23:44

(2)の説明です。

(a+3)/2<x<7で、これを満たす自然数ｘは1,2,3,4,5,6です。このうちxは3個ということですから、X=4,5,6の3個となります。
よって、最も小さい(a+3)/2は4より小さいことがわかります。
　(a+3)/2<4
を解くと、
　a<5
となります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/20 23:33

1.

＞ 不等式を解いていって (1-√2)x>-2となり、
＞ x<-2/1-√2となり、
＞ そこから後の有理化で x<2(√2+1)となるのが分かりません。

一次不等式が解けないの？
x + 1 > √2x - 1 の x の一次項を左辺に、定数項を右辺に移項すると
x - √2x > -1 - 1. 両辺それぞれ整理して、(1 - √2)x > -2.

1 < 2 の両辺の √ をとると、1 < √2. よって、1 - √2 < 0.
一般に不等式 ax > b について、a > 0 のとき x > b/a, a < 0 のとき x < b/a だから、
(1 - √2)x > -2 より x < -2/(1 - √2).

分母の有理化には、和と差の積を使う。
-2/(1 - √2) = -2(1 + √2)/{ (1 - √2)(1 + √2) } = -2(1 + √2)/{ 1 - 2 } = 2(1 + √2).

＞ そこからの答えまでの導き方を教えてください。

2(1 + √2) = 2 + 2√2 = 2 + √8.
4 < 8 < 9 の両辺の √ をとると、2 < √8 < 3. よって、4 < 2 + √8 < 5.

x < 2(1 + √2) を満たす自然数 x を x = 1,2,3,... と見てゆくときに
x = 4 は ok で x = 5 はダメ ということだから、
答えは 1, 2, 3, 4.

No.3 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/05/20 23:32

x＋1 > √2x-1

x-√2x > -2
(1-√2)x > -2
x < -2 / (1-√2)　右辺分子分母に　(1+√2)を掛け有理化する。a^2-b^2=(a-b)(a+b)　の公式を使い分母を有理化する常套手段
x < -2(1+√2) / ((1-√2)(1+√2))
x < -2(1+√2) / (1-2)
x<2(√2+1)≒4.525…　x=(0),1,2,3,4　普通高校では0を自然数には含めない、大学では入れる場合もある


9x-10<11+6x　→　3x<21　→　x<7　①
4x-3>2x+a　→　2x>a+3　→　x>(a+3)/2　②
a=5　の時　②は　x>8/2　→　x>4
①と②より　4<x<7　x=5,6

自然数が3個存在　→　x<7なので、自然数は、6,5,4　となるはずである　→　3<x<7　であれば良い
即ち、②の値が　3<(a+3)/2≦4　であれば良い
3　<　(a+3)/2　≦　4　
6　<　a+3　≦　8
3<a≦5　答　aの範囲　3<a≦5

問題の難易度は高くないのですが、授業を受けていないで自習なら難しいと思います。

この回答へのお礼

2つめの自然数が3個存在するという問題で、3＜x＜7まではわかったのですが、そこからどのように3<(a+3)/2≦4という考え方になるのですか？

お礼日時：2020/05/21 23:52

No.2 回答者： nasdaq000 回答日時： 2020/05/20 23:26

こんばんは。

まずは(1)を説明します。
x＜-2/(1-√2)はわかりますね。
次に分子と分母に(1+√2)をかけて有理化します。これで分母は-1になります。
するとx<2(√2+1)が導出されます。
あとは√2≒1.41より、x<4.82となり、X=1,2,3,4となります。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/20 23:12

1.√2≑1.4

x<2(√2+1)≑4.8
ｘは自然数なので、x=1,2,3,4

a＋3/2＜x＜7
これを満たす自然数が3個ということは、x=4,5,6
よって、
a＋3/2<4
a<5/2