「マクローリンの定理を関数sinhx＝1/2(e^x -e^-x)に当てはめた式を書け」という問題が

「マクローリンの定理を関数sinhx＝1/2(e^x -e^-x)に当てはめた式を書け」という問題が出されたのですが、どのように当てはめて求めればいいんですか？解法の初めの部分だけでもいいので教えてほしいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/12 01:07

e^x, e^(-x)のマクローリン展開は、

e^x=Σ[k=0, ∞]x^k/k!=1 + x+ x^2/2 + x^3/6 + …
e^(-x)=Σ[k=0, ∞](-x)^k/k!=1 - x+ x^2/2 x^3/6 + …

e^x - e^(-x)=2x + (2/6)x^3 + …
=2(x + x^3/6 + …)
=2(Σ[k=0, ∞] x^(2k+1)/(2k+1)!)

sinhx=(e^x - e^(-x))/2
=Σ[k=0, ∞] x^(2k+1)/(2k+1)!

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/06/12 10:18

(sinh x)'=cosh x

(sinh x)''=(cosh x)'=sinh x
高階の微分も偶数回か奇数回でsinh xになるかcosh xになるか、です。
あとはマクローリンの定理に当てはめるだけ。