おしえて

nsin2x + 1 y= lim ーーーーーーー n→∞ ncos^2x+1 この関数の連続性を調

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質問者：受験生ナキ
質問日時：2020/06/23 18:06
回答数：1件

nsin2x + 1
y= lim ーーーーーーー
n→∞ ncos^2x+1

この関数の連続性を調べよという問題なのですが、

回答では cos^2x が0になる時とならない時で場合わけしているのですが、なぜ sin2x の0になる時とならない時の場合わけは必要ないのですか？？

詳しい解説お願いします！

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回答 (1件)

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No.1

回答者：ありものがたり
回答日時：2020/06/23 21:07

＞ cos^2x が0になる時とならない時で場合わけしているのですが、

＞なぜ sin2x の0になる時とならない時の場合わけは必要ないのですか？

(n sin 2x + 1)/(n cos^2 x + 1) = (sin 2x + 1/n)/(cos^2 x + 1/n) だから
n→∞ のときこれが収束するかしないかは、
(sin 2x + 0)/(cos^2 x + 0) = 2(sin x)(cos x)/(cos x)^2 = 2(sin x)/(cos x)
の値が存在するかどうかで決まる。このため、
cos^2 x が 0 かどうかというより cos x が 0 かどうかで場合分けする必要がある。

同じことだって？いやいや、 sin 2x が 0 になるかどうかを含めて考えるには、
cos x で約分しておく必要があるのです。結果的に同じことだけども。