”数学” ナブラ∇について

ベクトルAに対して∇が作用するときに内積の記号"・"が必要だと思うのですが、写真（公式）ではそれがありません。
右辺第一項は(∇・A)でベクトルがスカラーになった後に、一番左にある∇が作用しているので変ではないという認識です。
第2項はどうなっているのですか？

質問者からの補足コメント

• "∇(∇・A)"と"∇^2A=∇・（∇A)"の違いがよくわからないのですが教えていただけますか？

    補足日時：2020/06/25 14:58

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/25 15:18

＞ "∇(∇・A)"と"∇^2A=∇・（∇A)"の違いがよくわからないのですが

略記法に拘ってもしかたがない気はしますけどね。
∇(∇・A) = grad div A. こちらは A がベクトルで、値もベクトル、
∇・（∇A) = div grad A. こちらは A がスカラーで、値もスカラーです。
grad と div の定義どおりに考えればいい。

成分表示なら見やすいのかな？
∇(∇・A) は、変数の成分が (x1, x2, ..., xn)、A の成分が A = (a1, a2, ..., an) であれば
∇(∇・A) = grad div A
= grad (∂a1/∂x1 + ∂a2/∂x2 + ... + ∂an/∂xn)
= ( ∂∂a1/∂x1∂x1 + ∂∂a2/∂x2∂x1 + ... + ∂∂an/∂xn∂x1,
　　∂∂a1/∂x1∂x2 + ∂∂a2/∂x2∂x2 + ... + ∂∂an/∂xn∂x2,
　　...,
　　∂∂a1/∂x1∂xn + ∂∂a2/∂x2∂xn + ... + ∂∂an/∂xn∂xn ).
∇・（∇A) は、変数の成分が (x1, x2, ..., xn) であれば
∇・（∇A) = div grad A
= div (∂A/∂x1, ∂A/∂x2, ..., ∂A/∂xn)
= ∂∂A/∂x1∂x1 + ∂∂A/∂x2∂x2 + ... + ∂∂A/∂xn∂xn.

この回答へのお礼

ありがとうございます。お答えして頂いた内容についてはよく分かりました！しかし、画像の公式の左辺ではAがベクトルなのに、右辺第2項ではスカラーに変わることが出来るという点に納得が行きません。ベクトルがスカラーに変化する事が想像が出来ません、、、よろしければ回答お願いします。

お礼日時：2020/06/25 19:14

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/24 14:55

その ∇² は、御指摘のとおり ∇・∇ の意味です。

Δ = ∇・∇ = div grad ですね。
でも、・ は使わず ∇² と書く習慣です。
ベクトルの普通の内積でも、
a・a を |a|² でなく a² と書いてしまうことがありますよね？

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2020/06/24 14:45

Aがベクトルで，∇^2はベクトルではないからですけど，何か問題でも？成分で書けば，右辺は d_i (Σ_j d_j A_j) - Σ_j d_j d_j A_i で，生きている指標は i のみ。