任意の実数xに対して、x-1<n≦xなる整数nが存在することを示すにはどうすれば良いですか？

任意の実数xに対して、x-1<n≦xなる整数nが存在することを示すにはどうすれば良いですか？

質問者からの補足コメント

• 課題、問題集等の質問ではないですが

    補足日時：2020/07/01 17:15

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/01 19:43

自然数の(空集合でない)部分集合には、必ず最小元が存在します。

背理法と数学的帰納法を使って示しましょう。
自然数の(空集合でない)部分集合 A について、A に最小元は無いと仮定します。
１ が A の元だとすると、1 は最小の自然数なので、A の最小元となって矛盾します。
よって、1 は A の元ではありません。
1,2,...,n-1 が A の元でなく、n が A の元だとすると、n が A の最小元となって矛盾します。
よって、n は A の元ではありません。
よって数学的帰納法により、任意の自然数 n は A の元ではありません。
以上により、 A は空集合ということになり、仮定に矛盾します。
したがって、A には最小元がなくてはなりません。

さて、この補題を使って...
[1]
正の実数 x について、x 以上の自然数の集合 A にも最小元が存在します。
その最小限を n とすると、x ≦ n です。ここで n-1 < x でないと仮定すると、
x ≦ n-1 となって、n が A の最小元であることに矛盾します。よって、n-1 < x ≦ n です。
[2]
負または零の実数 x について、x が整数であれば、n = x として n-1 < x ≦ n が成立します。
[3]
x が整数でなければ、-x 以上の自然数の集合 B にも最小元が存在します。
その最小限を ｍ とすると、-x < m です。ここで m-1 < -x でないと仮定すると、
-x ≦ m-1 となって m が B の最小元であることに矛盾します。よって、m-1 < -x < m です。
n = -m+1 と置けば n-1 < x < n が成り立っています。

この回答へのお礼

いつもありがとうございます

お礼日時：2020/07/01 19:58

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/01 19:57

ああ、n-1 < x ≦ n じゃなくて x-1<n≦x か。

n ≦ x < n+1 ってことだから、
No.2 で n 以上の自然数の集合としたところを
n より大きい自然数の集合にすれば ok ね。

No.1 回答者： ikoma1229 回答日時： 2020/07/01 16:56

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