相加平均と相乗平均に関する不等式を利用して、次の不等式を証明せよ という問題で a>0,b>0,c>

相加平均と相乗平均に関する不等式を利用して、次の不等式を証明せよ という問題で

a>0,b>0,c>0,d>0のとき（a/b +c/d）（b/a+d/c）≧4

の証明がわかりません。分かる方いませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/14 22:13

(a/b + c/d) (b/a + d/c）≧4

かっこをはずします。
(a/b)(b/a) + (a/b)(d/c) + (c/d)(b/a) + (c/d)(d/c) ≧4
1 + ad/bc+ bc/ad + 1 ≧4
ad/bc+ bc/ad ≧2
この不等式を証明すれば良いことになります。

ad/bc >0、bc/ad >0 より、相加平均と相乗平均に関する不等式を利用して
ad/bc+ bc/ad ≧2√(ad/bc)(bc/ad)=2
等号成立は、 ad/bc=bc/ad より、(ad)²=(bc)²、よって、ad=bc のとき。

この回答へのお礼

ありがとうございます
理解できました

お礼日時：2020/07/14 22:46

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/14 21:32

a/b と c/d について相加相乗平均の関係を使って、

{ a/b + c/d }/2 ≧ √( (a/b)(c/d) ), 等号成立は a/b = c/d のとき。
b/a と d/c について相加相乗平均の関係を使って、
{ b/a + d/c }/2 ≧ √( (b/a)(d/c) ), 等号成立は a/b = c/d のとき。
両式を掛け算して
（a/b +c/d）（b/a+d/c）/4 ≧ { √( (a/b)(c/d) }{ √( (b/a)(d/c) ) } = √{ (a/b)(c/d)(b/a)(d/c) } = 1
であるが、この不等式の等号は a/b = c/d のとき成立する。

この回答へのお礼

ご説明ありがとうございます

お礼日時：2020/07/14 22:47