①a,bは有理数である。 ②√7は無理数である。 ①、②を満たしながら次の命題が真か偽かをを証明する

①a,bは有理数である。
②√7は無理数である。
①、②を満たしながら次の命題が真か偽かをを証明する。(偽の場合は反例のみ)
a＋√7b＝0ならばa＝b＝0

自分は真にして理由は
a≠0の時
a+√7b＝0
b＝-a/√7＝√7a/7となる。
a.bは有理数にならなければならないのにこれだとbは無理数になる。
したがってa＝b＝0となる。
と証明しました。
これは丸が貰えるのでしょうか？
自分の中で引っかかっているのはb≠0にしてなかったことなのですが大丈夫でしょうか？

回答お願いします！
あと、連続質問ごめんなさい！

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/07/18 19:13

bが無理数になる根拠となる定理が教科書にあれば丸でしょうけど

まあ駄目でしょうね。

正攻法で

有理数(≠0)×無理数=無理数 ①
有理数+無理数=無理数 ②

を証明しとけば

与式は b≠0の場合、0は無理数となって破綻するので
簡単です。

①も②も、右辺を有理数とすると
無理数を分数で表すことが出来てしまうので
証明は簡単！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/18 20:36

√7 が無理数であることの証明も添えないとね。

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2020/07/18 21:13

a≠0, a有理数, √7は無理数の時、√7a/7が無理数であることの証明がない（このレベルの問題の解答ではかなり致命的）。

a≠0 で矛盾が起こることしかいってない（a=0であることしか証明してない）ので、
>したがってa＝b＝0となる。
の前に、 a=0 の時、b√7=0よりb=0、と加える必要がある。

丸がもらえるかどうかは採点基準次第（厳しくみればほとんどダメ、緩ければ丸もありうる）。

No.4 ベストアンサー 回答者： MayTyu 回答日時： 2020/07/18 22:55

5点問題くらいになっているならば、

真と答えたところで1点くらいと思ってください。
（ゆるかったら3点くらいもらえるかもしれないですが）

このような問題は解答方法を暗記するくらいで臨むのが一番いいんだけど、
フィーリングで解くと意外と落とし穴にはまるので注意です。

【指摘したいところ】
①　a≠0の時　→　b＝-a/√7＝√7a/7となる　→　これはbが有理数であることに矛盾する
　有理数同士は足したりかけたり引いたり割ったりしても有理数ということが分かっていますが、
　そのままの感覚で無理数も考えていませんか？
　無理数に関しては何もそのような規定はなく、ましてや無理数と有理数の計算のあいだに
　既知であるといえるような確固とした定義がありません。
　これは少し右辺が有理数であることをまた証明する必要があります。

②　....これだとbは無理数になる。したがってa＝b＝0となる。
　a≠0の記述がないのは少し痛いです。これでこの証明の半分ぐらいの点数を落としてしまったように思ってください。

③　背理法で解くこと（記述なし）
　ここに書かなかっただけかもしれませんが背理法を用いた証明であることを定義してください。
　というのは「a≠0の時」ではなく「a≠0と仮定する」と書くということです。

【正答】
パターン①　a≠0と仮定したとき（数学的にあっているかどうかが怪しいです。）
パターン②（こっちが正統派ですよ）ｂ≠0と仮定したとき

必要条件、十分条件に入るとちょっと出てきますのでがんばってくださいね

この回答へのお礼

ほんとに回答者さんの回答見てなんでそうしなかったんだろうとめっちゃ思ってます(T ^ T)
なんで√7＝にしなかったんだろう(´Д｀)ﾊｧ…

お礼日時：2020/07/19 21:50