数学の問題がわかりません

xyz 空間内の x 軸方向の基本単位ベクトルを i、y軸方向の基本単位ベクトルを j、 z軸方向の基本単位ベクトルを k とする。
（１） i を成分で表せ。
（２） i と j の内積を求めよ。
（３） 外積 i×j の結果を基本単位ベクトルを用いて表せ。
（４） 点A (3, 1, 2) を表す位置ベクトルを基本単位ベクトルを用いて表せ。
（５） 基本単位ベクトル i を z軸を中心に角度 p だけ回転したベクトルを成分で表せ。
（６） 基本単位ベクトル j を z軸を中心に角度 p だけ回転したベクトルを成分で表せ。

お願いします教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/19 12:53

（１）　i=(1,0,0) ・・・長さが１でｘ以外は成分０のベクトル。

これがｘ軸方向の基本単位ベクトルの意味（ほかの軸についても同様）
(2)iとjは直行しているから内積は０
i・j=(1,0,0)・(0,1,0)=1x0+0x1+0x0=0
(3)外積の成分計算については教科書に載っています
ただ面倒なので　外積ixjとは
大きさが|i||j|sinθ で
向き：iとjが作る平面に垂直で　iからjにむかって右ねじを回すときにねじが進む向き
ということを知っていると
ixjの大きさは|i||j|sinθ=1・1・sin90=1
向きはZ軸の性の方向
ゆえに　ixj=kともとまります
(4)a=(3,1,2)=3(1,0,0)+1(0,1,0)+2(0,0,1)=3i+j+2k
(5) 簡単にするために　xy平面だけで考える
すると i=(1,0)
角θの回転移動を表す行列は
cosθ、-sinθ
sinθ、cosθ　とあらわされこの行列をAとおく
座標（ベクトル・行列）
(x､y)
をθだけ回転移動した後の座標
(x',y')
は

行列
x
y
をBとおき

行列
x'
y'
をCとおいたとき
C=ABという行列の積になるから
x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ
となる
本題にあわせて、x=1,y=0,θ=pとすれば
x'=1cosp-0=cosp
y'=1sinp+0=sinp
ゆえにｚ成分も付け加えれば　回転後のベクトルは
(cosp,sinp,0)

(6)
(5)と同様にして回転する前のベクトルの成分をx,yへ代入
j=(0,1,0)だから
x=0、ｙ=1として
x'=-sinp
y'=cosp
ゆえに　答えは(-sinp,cosp,0)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/07/19 13:03

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/20 01:13

「xyz 空間」というだけで各軸が直交するという前提はない, んだよね?