x ^2＋3y^2−4xy−5x＋6y＋7＝0を満たす整数x,yを求めよ という問題がわかりません。

x ^2＋3y^2−4xy−5x＋6y＋7＝0を満たす整数x,yを求めよ

という問題がわかりません。



ぼくはこれをyの式　

3y^2＋2(3−2x)y＋x^2−5x＋7＝0にして、

この方程式の解にでてくる√の中身が平方数or正という条件で範囲を絞ろうとしたのですが、√の中が下に凸の二次式になり全然絞れませんでした...



どなたか教えてください。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/24 13:15

x^2 + 3y^2 - 4xy - 5x + 6y + 7＝0を因数分解すると、

(x-3y-(9/2))(x-y-(1/2))=-19/4
(2x-6y-9)(2x-2y-1)=-19

組み合わせは、
2x-6y-9=1, 2x-2y-1=-19 …(1)
2x-6y-9=-1, 2x-2y-1=19 …(2)
2x-6y-9=19, 2x-2y-1=-1 …(3)
2x-6y-9=-19, 2x-2y-1=1 …(4)

の4通りとなる。
(1)の場合：
2x-6y-9=1から2x-2y-1=-19を引くと、
-4y-8=20
-4y=28
y=-7
2x+14-1=-19
2x+13=-19
2x=-32
x=-16

(2)の場合：
2x-6y-9=-1, 2x-2y-1=19を引くと、
-4y-8=-20
-4y=-12
y=3
2x-6-1=19
2x-7=19
2x=26
x=13

(3)の場合：
2x-6y-9=19, 2x-2y-1=-1を引くと、
-4y-8=20
-4y=28
y=-7
2x+14-1=-1
2x=-14
x=-7

(4)の場合：
2x-6y-9=-19, 2x-2y-1=1を引くと、
-4y-8=-20
-4y=-12
y=3
2x-6-1=1
2x=8
x=4

以上より、x^2 + 3y^2 - 4xy - 5x + 6y + 7＝0を満たす整数(x,y)は
(x,y)=(-16,-7), (13,3), (-7,-7), (4,3)

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/24 13:05

普通に二次曲線の標準化をやってみましょう。

{ x^2 - 4xy + 3y^2 } - 5x + 6y + 7 = { (x - 2y)^2 - y^2 } + { - 5x + 6y } + 7
= { (x - 2y)^2 - y^2 } + { - 5(x - 2y) - 4y } + 7
= (x - 2y - 5/2)^2 - (y + 2)^2 + { - 25/4 + 4 + 7 }
= (x - 2y - 5/2)^2 - (y + 2)^2 + 19/4
より、
与式 ⇔ 19 = 4(y + 2)^2 - (x - 2y - 5/2)^2 = (2y + 4)^2 - (2x - 4y - 5)^2
= { (2y + 4) + (2x - 4y - 5) }{ (2y + 4) - (2x - 4y - 5) } = (2x - 2y - 1)(-2x + 6y + 9).
です。
x, y が整数のとき、2x - 2y - 1, -2x + 6y + 9 は整数なので、
(2x - 2y - 1, -2x + 6y + 9) = (1,19), (-1, -19), (19,1), (-19,-1) のどれかでなければなりません。
それぞれ解いてみると (x,y) = (4,3), (-7,-7), (13,3), (-16,-7) となり、このどれもが解と判ります。