R[X]で既約な3次の多項式は、決して存在しないことを証明しなさい。 という問題が分かりません。 反

R[X]で既約な3次の多項式は、決して存在しないことを証明しなさい。

という問題が分かりません。
反例を示すことは出来ますが、反例を示すことがこの証明の一般的な答えになるとは思えません。
どのように示せば良いでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/25 22:31

R[X] の元 f(X) が既約であるとは、f(X) が R[X] の単元ではないふたつの元の積で表せないことである。

f(X) が３次多項式であれば、３次項の係数が正のとき lim(x→+∞) f(x) = +∞, lim(x→-∞) f(x) = ∞、
３次項の係数が負のとき lim(x→+∞) f(x) = -∞, lim(x→-∞) f(x) = +∞ だから、いづれにせよ
中間値定理より、方程式 f(x) = 0 は実数解を持つ。その解を x = a とすれば、因数定理により
f(x) は一次式 x-a で割り切れる。その商を g(x) とすれば、g(x) は二次式であり、 f(X) = (X-a)g(X) と書ける。
X-a, g(X) はどちらも、定数式でないから R[X] の単数ではない。したがって、3次式 f(X) は規約ではない。