坂道にて高さhの位置から350mlの缶を転がす。転がる間に斜面上で滑ることはないとする。また、空気抵

坂道にて高さhの位置から350mlの缶を転がす。転がる間に斜面上で滑ることはないとする。また、空気抵抗は無視する。液体が入ったものを冷凍した場合と、蓋を開けた空き缶それぞれで、底面についたときと早さを計算せよ。冷凍缶は円柱、空き缶は薄い円筒とみなしてよい。なお、冷凍缶の重さは370kg、空き缶は15gで、缶の直径は66mmである。ちなみに冷凍缶としているのは、液体の場合は、転がる際に液体が動くことが影響するので、その影響を除くためであり、温度の影響は考えなくてよい。

途中まででもいいのでよろしくお願いします

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/07 18:19

「高さhの位置から」というのが曖昧ですが

坂の高低差がhということにします。
缶の円筒の重さをM、中身の重さをmとすると(空き缶ではm=0)
缶の得るエネルギーは(M+m)gh

滑らず転がる場合の缶の運動エネルギーは
T=(1/2)(M+m)v^2 +(1/2)Iω^2
で、ω=v/r (rは缶の半径)
だから
T=(1/2)(M+I/r^2)v^2

ここでI(慣性モーメント)は
Mr^2+(1/2)mr^2


以上から、運動エネルギーは
T={M+(3/4)m}v^2

坂を下り終えたとき、Tは(M+m)ghと一致するので

v=√[(M+m)gh/{M+(3/4)m}]
これは冷凍缶、空き缶の両方で成り立ちますが

空き缶ではm=0なので
空き缶 v=√(hg)

というわけで、rとは無関係
質量の絶対値ではなく、缶の円筒と中味の質量比で速さが決まります。
冷凍缶の方が速いですね。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/08 00:07

AN06です。

いろいろ友句があるので纏めると
①「蓋を開けた」の意味が不明瞭。
蓋を取り外したという意味なのか曖昧。
「空き缶は薄い円筒とみなす」ということなので
蓋の重さは無視しました。
②「冷凍缶は円柱とみなしてよい」の意味が不明瞭
流石に円筒部分の慣性モ―メントを無視するのは無理が有り過ぎる。
無視して良いなら、M=0とすれば良いだけだけど
現実の実験でははっきり影響するだろうから M≠0
としました。M=0なら、v=√{(4/3)hg}

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/07 20:02

ANO6 です。

一部修正。

>T=(1/2)(M+I/r^2)v^2
T=(1/2)(M+ m + I/r^2)v^2
ですね。他に修正はありません。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/07 16:55

＞冷凍缶の重さは370kg

ええっ？　370 g かな？

空の缶は、金属部分と中空部分とがあるので、慣性モーメントの想定がちょっと難しい。金属部分は「円筒側面」だけで、上面・底面には金属板はないものと仮定して近似します。
また、冷凍した缶は、金属部分と「凍った液体」とが同じ密度だとして近似します。
数値を入れて計算すると、何を計算しているのか分からなくなるので、下記には記号を使って書きます。途中あるいは結果の数値が知りたければ、その段階で値を代入して求めてください。
空き缶が
　m1 = 0.015[kg]
冷凍缶が
　m2 = 0.37[kg]
共通パラメータは
　r = 0.0066[m]
　g = 9.8[m/s^2] 重力加速度
　θ：斜面の角度
です。

半径 r の中空円柱の慣性モーメントは
　I1 = m1*r^2

同じく中身の詰まった円柱の場合には
　I2 = (1/2)m2*r^2

になります。
いろいろな形状の慣性モーメントは、下記などを参照ください。
↓
http://hooktail.sub.jp/mechanics/inertiaTable1/
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …

斜面の角度を θ とすると、重力の斜面下方向の成分は、それぞれの摩擦力を f1, f2 として
・空き缶：F1 = m1*g*sinθ - f1　　　　①
・冷凍缶：F2 = m2*g*sinθ - f2　　　　②
この力で重心がそれぞれ斜面下方向に加速される（並進運動）。

一方、摩擦力により、円筒中心周りの半径の位置に f1, f2 の力が加わるトルクで回転が加速されることになる（回転運動）。

従って、
(a) 空き缶
・重心の並進運動の運動方程式：m1*a1 = m1*g*sinθ - f1　　　　③
　回転運動の運動方程式：I1*d(ω1)/dt = r*f1　　　　　　　　　　④
　並進運動の加速度は、回転運動の周加速度に等しいので
　　a1 = r*d(ω1)/dt　　　　⑤

　⑤により④を書き換えると
　　I1*a1/r = r*f1
　→　f1 = I1*a1/r^2
　これを③に代入して
　　m1*a1 = m1*g*sinθ - I1*a1/r^2
　→　(m1 + I1/r^2)a1 = m1*g*sinθ
　→　a1 = m1*g*sinθ/(m1 + I1/r^2)
　ここに I1 = m1*r^2 を代入すれば
　　　a1 = m1*g*sinθ/(m1 + m1) = (1/2)g*sinθ　　　　⑥
　となります。
　つまりは、空き缶の場合には働く力の 1/2 が重心の並進運動に、1/2 が回転運動に使われることがわかります。

(b) 冷凍缶
・重心の並進運動の運動方程式：m2*a2 = m2*g*sinθ - f2　　　　⑦
　回転運動の運動方程式：I2*d(ω2)/dt = r*f2　　　　　　　　　　⑧
　並進運動の加速度は、回転運動の周加速度に等しいので
　　a2 = r*d(ω2)/dt　　　　⑨

　⑨により⑧を書き換えると
　　I2*a2/r = r*f2
　→　f2 = I2*a2/r^2
　これを⑦に代入して
　　m2*a2 = m2*g*sinθ - I2*a2/r^2
　→　(m2 + I2/r^2)a2 = m2*g*sinθ
　→　a2 = m2*g*sinθ/(m2 + I2/r^2)
　ここに I2 = (1/2)m2*r^2 を代入すれば
　　　a2 = m2*g*sinθ/[m2 + (1/2)m1] = (2/3)g*sinθ
　となります。
　つまりは、冷凍缶の場合には、働く力の 2/3 が重心の並進運動に、1/3 が回転運動に使われることがわかります。

これらの加速度から、重心位置の並進運動の速度、変位が計算できます。
単純には、冷凍缶の方が並進運動の加速度が大きいので、坂道を下るのは早そうです。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/07 16:27

円柱の z軸まわりの慣性モーメントは Iz=M₁r²/2　Ｍ₁＝０．３７０ｋｇ、ｒ＝３３ｘ１０⁻³ｍ

この時の回転エネルギーはＥ₁＝1/2*Izω₁²
空き缶の z軸まわりの慣性モーメントは Iz=M₂r²　Ｍ₂＝０．０１５ｋｇ、ｒ＝３３ｘ１０⁻³ｍ
この時の回転エネルギーはＥ₂＝1/2*Izω₂²
円柱が底面についたときの重心の速さをｖ₁として全体のエネルギーは
：1/2*M₁v₁²＋1/2*Izω₁²＝Ｍ₁ｇｈ・・・①
空き缶が底面についたときの重心の速さをｖ₂として全体のエネルギーは
：1/2*M₂v₂²＋1/2*Izω₂²＝Ｍ₂ｇｈ・・・②
ｖ₁＝ｒω₁、ｖ₂＝ｒω₂
①：1/2*v₁²＋1/4*v₁²＝ｇｈ・・ｖ₁＝√(4/3*gh)
②：1/2v₂²＋1/2*v₂²＝ｇｈ・・ｖ₂＝√(2gh)

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/08/07 16:10

滑らない、という条件がある円筒の転がりの場合、エネルギー保存が使えます。

摩擦が働いていますが、摩擦は並進の運動エネルギーを回転の運動エネルギーに変換する仕事をしますのでエネルギーの損失を生じません。

滑らない、という条件から斜面上での並進速度vと回転の角速度ωの間に
v=rω　(rは円筒の半径)
の関係が成り立ちます。
円筒の質量をM,慣性モーメントをIとすると運動エネルギーKは
K=(1/2)Mv^2+(1/2)Iω^2
となります。これが失った位置エネルギーと等しいとして式を立てればよいでしょう。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2020/08/07 15:35

重力加速度以外の作用力はすべて無視、と言う条件になっているので、

自然落下速度は質量に影響しない、が適用できます。
なお、坂道と言う斜面方向の加速度はその角度で変わるので、
それが与えられない限りは答えは出ません。

それでも答えよ、と言うならば、
その斜面角度(水平基準)をθとすれば、
斜面方向の重力加速度は、ｇ*sinθ、
斜面を転がり落ちる時間は、斜面距離L＝ｈ÷sinθ=(1/2)*(g*sinθ)*t^2から、
底面到着時の速度は、このtを利用して、v=(g*sinθ)*t

いじわる質問な隠れ要素
坂を下り始める初速度が無い。
「転がす」と言う事は外力があることを言い、初速度0とは言えない。
坂道の入り口と出口の基準がない、缶の中心なのか辺なのか。
坂道の入り口と出口の延長先はどうなっているのか、
これらは、自分で定義して答えを出さないと、
いじわる質問の餌食になってしまいます。

No.1 回答者： pineville 回答日時： 2020/08/07 15:34

どっちも√2ghでは？