2つの焦点の座標が(±‪√‬70,0)で点(10‪√‬2,2‪√‬30)を通るような双曲線の方程式は

2つの焦点の座標が(±‪√‬70,0)で点(10‪√‬2,2‪√‬30)を通るような双曲線の方程式はどうやって求めるのですか？

よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/12 10:57

2つの焦点がｘ軸上にあり原点に関して対称だから、双曲線の方程式は

(x²/a²)-(y²/b²)=1・・・①
（もし、焦点がy軸上なら、(x²/a²)-(y²/b²)=-1）
焦点(c,0)(-c,0)についてｃ＝√(a²+b²)という関係があるから
c²=70=a²+b²・・・２
また、点(10‪√‬2,2‪√‬30)を通るから①へ代入で
(200/a²)-(120/b²)=1・・・３
３の両辺をa²b²倍で
200b²-120a²=a²b²・・・４
２より　b²=70-a²・・・５を４へ代入で
200(70-a²)-120a²=a²(70-a²)
⇔(a²)²-390a²+14000=0
解の公式で
a²=195±√(195²-14000)
=195±√24025
=195±155
=350,40
a²=40を5へ代入で
b²=70-40=30(a²=350の場合はb²が負となるので不適）
∴　(x²/40)-(y²/30)=1

この回答へのお礼

数字が大きすぎてほんとに解の公式かな？と思っていたので…やっぱり解の公式で解くんですね！
スッキリしました！ありがとうございます

お礼日時：2020/08/13 11:20

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/12 14:14

双曲線の定義は、ふたつの焦点からの距離の差が一定である点の軌跡。

その差を D と置くと、| √{ (x - √70)^2 + y^2 } - √{ (x + √70)^2 + y^2 } | = D.

この式は、両辺正だから、２乗しても同値で、
D^2 = | √{ (x - √70)^2 + y^2 } - √{ (x + √70)^2 + y^2 } |^2
= { √{ (x - √70)^2 + y^2 } - √{ (x + √70)^2 + y^2 } }^2
= { (x - √70)^2 + y^2 } - 2(√{ (x - √70)^2 + y^2 })(√{ (x + √70)^2 + y^2 }) } + { (x + √70)^2 + y^2 }
= { x^2 + 70 + y^2 - (2√70)x } + { x^2 + 70 + y^2 + (2√70)x } - 2√{ ( x^2 + 70 + y^2 - (2√70)x )( x^2 + 70 + y^2 + (2√70)x ) }
= 2{ x^2 + 70 + y^2 } - 2√{ ( x^2 + 70 + y^2)^2 - ((2√70)x)^2 }.
さらに同値変形して、
√{ ( x^2 + 70 + y^2)^2 - 280x^2 } = (x^2 + 70 + y^2) + C　　； C = -D^2/2.　　←[1]

式が成り立つような C の値の範囲では、両辺正であり、２乗しても同値なので、
( x^2 + 70 + y^2)^2 - 280x^2 = { (x^2 + 70 + y^2) + C }^2
= (x^2 + 70 + y^2)^2 + 2C(x^2 + 70 + y^2) + C^2.
整理して、
280x^2 + 2C(x^2 + 70 + y^2) + C^2 = 0.　　←[2]

この式が (x, y) = (10‪√‬2, 2‪√‬30) を通るのであれば、代入して
C^2 + 780C + 56000 = 0.
よって、 C = -80, -700.
ただし、式[1]を見ると、この曲線上で
(x^2 + 70 + y^2) + C ≧ 0 でなくてはならないので、
再び (x, y) = (10‪√‬2, 2‪√‬30) を代入して
390 + C ≧ 0.
これを満たすのは C = -80 のほうだけである。

よって、求める曲線の式は、[2]に C = -80 を代入して整理した
x^2/40 - y^2/30 = 1.

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/08/13 11:17

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/08/12 11:11

双曲線の標準形の式と、定義から 計算できる筈です。

もう一度 教科書を 読み直してみましょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/08/13 11:17