x^3cosxの10回微分をライプニッツの公式で求める際に、かなり項数が多くなってしまうのですが、な

x^3cosxの10回微分をライプニッツの公式で求める際に、かなり項数が多くなってしまうのですが、なにかきれいにまとめる方法はないのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/08/15 18:34

x³のため、項数は4つまでです。

きれいか否かは別として、以下になる。
n≧3 として

f⁽ⁿ⁾=Σ[r=0→n] nCr(x³)^(r)(cosx)^(n-r)=Σ[r=0→3] nCr(x³)^(r)(cosx)^(n-r)
　=x³(cosx)⁽ⁿ⁾+n(3x²)(cosx)⁽ⁿ⁻¹⁾+{n(n-1)/2}(6x)(cosx)⁽ⁿ⁻²⁾+{n(n-1)(n-2)/6}6(cosx)⁽ⁿ⁻³⁾
　=x³(cosx)⁽ⁿ⁾+3nx²(cosx)⁽ⁿ⁻¹⁾+3n(n-1)x(cosx)⁽ⁿ⁻²⁾+n(n-1)(n-2)(cosx)⁽ⁿ⁻³⁾

ここで、
(cosx)⁽ⁿ⁾=(-1)^m cosx (n=2mのとき)
(cosx)⁽ⁿ⁾=(-1)^m sinx (n=2m-1のとき)
だから

nが偶数のとき
f⁽ⁿ⁾=(-1)ⁿ/²{ x³cosx+3nx²sinx-3n(n-1)xcosx-n(n-1)(n-2)sinx }
=(-1)ⁿ/²[ {x³-3n(n-1)x}cosx+{3nx²-n(n-1)(n-2)}sinx ]

f⁽¹⁰⁾=-[ {x³-270x}cosx+{30x²-720}sinx ]={-x³+270x}cosx-{30x²-720}sinx

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/08/15 20:35