Σ計算の順番変更について

統計検定1級を目指しているものです。

問題集を解いていたところこのような変換が出てきました。
Σ(k=0,∞)Σ(n=0,k-1)=Σ(n=0,∞)Σ(k=n+1,∞)

積分の順番変更については理解したのですが、Σでの順番変更が理解できません。
具体的にどのように考えて順番変更をしているのかを教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/19 14:13

積分のときも、∫[A]∫[B(y)] f(x,y) dx dy = ∫[C]∫[D(x)] f(x,y) dy dx に際しては

( y∈A, x∈B(y) ) ⇔ ( x∈C, y∈D(y) ) となるように (x,y) の変域をグラフから考えて、
積分の中身 f(x,y) は積分範囲の変換については特に考慮していなかったはずです。

総和の場合も同じこと。
添付図のグレーの○の範囲の (k,n) について Σ の中身を合計するわけですが、 それを
図の赤線上で一旦 Σ(n=0,k-1) と総和してから Σ(k=0,∞) で全部まとめるのが左辺 Σ(k=0,∞)Σ(n=0,k-1)。
図の青線上で一旦 Σ(k=n+1,∞) と総和してから Σ(n=0,∞) でまとめるのが右辺の Σ(n=0,∞)Σ(k=n+1,∞)。
同じグレーの○に渡る総和を行うのだから、Σ の中身に関わらず両辺は一致します。

この回答へのお礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございます！
やっと理解することができました。

お礼日時：2020/08/19 15:29

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/17 19:04

格子点 (k,n) を座標平面上に書いてみるといい。

積分のときも、似たようなことをしたでしょう？
Σする範囲の格子点を、縦に串刺しして集めたのが左辺、
横に串刺しして集めたのが右辺です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
自分の場合、積分のときは中身の式をグラフに書き、x,yの範囲を示すところを斜線で塗りつぶしてx→yをy→xと考えるやり方でやっていました。しかし、今回の場合中身の式もないのでよく理解できていないです...。
具体的に縦にくし刺しして集めたものとはどのようなものでしょうか？

お礼日時：2020/08/19 12:45

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/17 17:28

積分で理解できてるなら, それと同じように考えればいい.