どなたかこの問題について御教授お願いいたします。 任意の四辺形 ABCD の辺 AB、BC、CD、D

どなたかこの問題について御教授お願いいたします。

任意の四辺形 ABCD の辺 AB、BC、CD、DA の中点をそれぞれ P、Q、R、S とする。このとき
AC^2 + BD^2 = 2(PR^2 + QS^2) が成り立つことを示せ。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/21 07:46

△ABCと△ACDにおいて中点連結定理より

PQ=SR=(1/2)AC---①,PQ//AC,SR//AC
同様に
△ABDと△BCDにおいて中点連結定理より
PS=QR=(1/2)BD---②,PS//BD,QR//BD

よって四角形PQRSはPQ//SR,PS//QRと①②より平行四辺形なので
PRとQSの交点をTとすると
TはPR,QSの中点になります

△SPRにおいて中線定理より
PS^2+SR^2=2(PT^2+TR^2)
PS^2+SR^2=2{(PR/2)^2+(QS/2)^2}=(PR^2)/2+(QS)^2/2
①②より
{(1/2)BD}^2+{(1/2)AC}^2=(PR)^2/2+(QS)^2/2
(1/4)BD^2+(1/4)AC^2=(1/2)PR^2+(1/2)QS^2
AC^2+BD^2=2(PR^2+QS^2)