なぜBEにsinABHをかけると高さが求まるのでしょうか？

なぜBEにsinABHをかけると高さが求まるのでしょうか？

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/19 14:19

これは中学の問題です。

解法１．
ＢＨを延長して辺ＣＤとの交点をＦとする。BＦの長さは3√3/2。ＨはΔＢＣＤの
重心だから、BＨ＝2/3*BF=√3、よってＡＨ＝√(９－３)＝√６
AFに平行な線を点Ｅから下してＡＨとの交点をＧとすると、ΔＡＢＨ∽ΔＥＢＧ
辺の比は３：２＝ＡＨ：ＥＧ＝√6：ＥＧ、
ＥＧ＝(２√6)/3
よって、四面体ＥＢＣＤの体積は1/3*(9√3)/4*(２√6)/3=(3√2)/2
解法２．
底面積は同じなので四面体ＡＢＣＤ：四面体ＥＢＣＤ＝３：２
四面体ＡＢＣＤの体積は1/3*9√3/4*√６=(9√2)/4
(9√2)/4:四面体ＥＢＣＤ＝３：２
四面体ＥＢＣＤ=(3√2)/2

本来の回答(#1さんの図参照）
ΔＥＢＧでsin∠ＥＢＧ＝ＥＧ/EBと定義しています。
よって、高さＥＧ＝ＥＢ＊sin∠ＥＢＧ
ΔＥＢＧでcos∠ＥＢＧ＝BＧ/EBと定義しています。
よって、底辺ＢＧ＝ＥＢ＊cos∠ＥＢＧ
ΔＥＢＧでtan∠ＥＢＧ＝EＧ/BGと定義しています。
よって、高さＥＧ＝ＢＧ＊tan∠ＥＢＧ

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2020/09/19 13:45

sin(∠ABH)=高さ/BEなので、

高さ=BE*sin(∠ABH)
になります。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/09/19 13:26

4面体BCDEの高さ？

この図全体の立体を上から見ると、緑の辺はBHと重なる。

∴4面体BCDEの高さ（赤線）＝BEsin∠ABH