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1問1点の10点満点のテストがあります。  このテストは全て2択の問題のとき、期待値を計算すると5点になりました。以下、全てランダムで答えると仮定します。

しかし、実際に5点となる確率は
10C5×(1/2)^5(1/2)^5=0.24609375≒0.25=25%
となりました。

ここで質問なんですが、期待値が5点であるから50%=1/2の確率で5点だろうと考えるのは間違っていますよね?
期待値の5点とは5点になる確率が最も高いことを意味していると捉えて良いですか?

もう1つ気になるのが
2択の問題を10問
全て1問1点でランダムに答える場合、
1番自分が取りそうな点数は期待値の5点なのか
10点になる確率:(1/2)^10
9点になる確率:10×(1/2)^10
       ・
       ・
       ・
1点になる確率:(1/2)^10
0点になる確率:10×(1/2)^10       
を計算し、最も確率の高い点数のどちらですか?

A 回答 (3件)

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>期待値が[ある値×それが起こる確率]で求まる。という認識でよいですか?

はい。
ただし、「100問、15択」の場合には、正解数は 0~100 にわたりますから(100問を偶然正解する確率は相当に低いですが 0 ではない)、その[ある値×それが起こる確率]を全部足し合わせたものが「期待値」になります。

1問あたり1点で正解確率 1/15 なら、1問あたりの期待値は (1/15)点。
100問ならこの100倍。

これで計算した期待値と、

100問のうち 0 問正解の確率 P(0)、そのときの点数 0 点
100問のうち 1 問正解の確率 P(1)、そのときの点数 1 点
100問のうち 2 問正解の確率 P(2)、そのときの点数 2 点
 ・・・
100問のうち k 問正解の確率 P(k)、そのときの点数 k 点
 ・・・
100問のうち 100 問正解の確率 P(100)、そのときの点数 100 点

から
 0点 × P(0) + 1点 × P(1) + 2点 × P(2) + ・・・+ k点 × P(k) + ・・・+ 100点 × P(100)
で計算した期待値とは等しくなるはずです。


>仮に100問、15択となると
>期待値=100/15=6.6‥‥‥

はい、そういうことになります。

>「6つ正解」の確率が最も高いということでしょうか?

この場合には、計算してみれば多分そうなると思います。

ただし、上の式で、結果として得られる期待値に一番近い k の確率 P(k) が最も大きくなるとは限りません。「1問1点」としたので何となくそれっぽいですが、「1問10点」とか「問題によって配点が異なる」ような場合もありますから。
当選賞金が高い「くじ」では、それなりに「期待値」が大きくなりますが、最も確率が高いのは「はずれ」(賞金0)の人になります。
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No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>ただ、まだ疑問点があって1問1点で9点満点のテストで全て2択、○か✕で正誤を判断し少数点数は無しとする場合、ランダムに答えると期待値が4.5になってしまい整数として出ません。この場合、自分が1番取りそうな点数は4or5点で4点が出る確率と5点が出る確率は等確率ですか?

いいえ。
「期待値」というものが分かっていないみたいですね。
「2択」だと分かりづらいので、「4択」で考えてみてください。

1問あたり、正解の確率が 1/4 なので、1問あたりの得点の期待値は (1/4) 点です。中途半端だけど、確率がそうなのだから (1/4) 点です。
これはつまり「毎回 (1/4) 点の得点をする」ということではなくて、「正解して得点1点になるのが4回に1回、間違えて得点にならないのが4回に3回」ということです。
期待値とはそういうことで、
 1点 × 確率 1/4 + 0点 × 確率 3/4 = (1/4)点
ということです。

これが 10問あれば、得点の期待値は
 1問あたり (1/4)点 × 10問 = 2.5点
ということです。

何問正解するかの確率をまじめに計算すれば、「二項分布」の確率の計算なので
正解 0 :P(0) = 10C0 * (1/4)^0 * (3/4)^10 = 3^10 / (4^10) ≒ 0.0563
正解 1 :P(1) = 10C1 * (1/4)^1 * (3/4)^9 = 10 * 3^9 / (4^10) ≒ 0.0751
正解 2 :P(2) = 10C2 * (1/4)^2 * (3/4)^8 = 45 * 3^8 / (4^10) ≒ 0.2816
正解 3 :P(3) = 10C3 * (1/4)^3 * (3/4)^7 = 120 * 3^7 / (4^10) ≒ 0.2503
正解 4 :P(4) = 10C4 * (1/4)^4 * (3/4)^6 = 210 * 3^6 / (4^10) ≒ 0.1460
 ・・・
正解 10 :P(10) = 10C10 * (1/4)^10 * (3/4)^0 = 1 / (4^10) ≒ 9.53 * 10^(-7)
ということになり、「2つ正解」の確率が最も高いことがわかります。

期待値は、これを使って
 0 * P(0) + 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3) + ・・・ + 10 * P(10)
で求めます。
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この回答へのお礼

期待値が[ある値×それが起こる確率]で求まる。という認識でよいですか?

仮に100問、15択となると
期待値=100/15=6.6‥‥‥
何問正解するか、
F(K)=100!/k!(100-k)!×(1/15)^k×(14/15)^100-k
と定めて、F(K+1)とF(K)の大小比較から
F(1)<F(2)<‥‥‥<F(5)<F(6)>F(7)>‥‥F(98)F(99)から「6つ正解」の確率が最も高いということでしょうか?

お礼日時:2020/09/22 01:08

>ここで質問なんですが、期待値が5点であるから50%=1/2の確率で5点だろうと考えるのは間違っていますよね?



意味がよく分かりませんが、「全てランダムで答える」ので、全問とも「正答する確率が 1/2」で、問題が10問あるので、正答する問題数の期待値が
 10[問] * 1/2 = 5[問]
であり、「1問1点」なので得点の期待値が「5点」になります。

>期待値の5点とは5点になる確率が最も高いことを意味していると捉えて良いですか?

違います。
各得点とその確率の積の総和が期待値です。

期待値 = 得点0 * (得点0の確率) + 得点1 * (得点1の確率) + 得点2 * (得点2の確率) + ・・・ + 得点10 * (得点10の確率)

>1番自分が取りそうな点数は期待値の5点なのか

そういうことになります。

>最も確率の高い点数のどちらですか?

こちらではありません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
だいたい分かりました!
ただ、まだ疑問点があって1問1点で9点満点のテストで全て2択、○か✕で正誤を判断し少数点数は無しとする場合、ランダムに答えると期待値が4.5になってしまい整数として出ません。この場合、自分が1番取りそうな点数は4or5点で4点が出る確率と5点が出る確率は等確率ですか?

お礼日時:2020/09/22 00:01

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