数学の二次関数の質問です。 放物線 y=ax^2+bx+cが、2点(-3,0) (1,0)を通り、頂

数学の二次関数の質問です。
放物線 y=ax^2+bx+cが、2点(-3,0) (1,0)を通り、頂点が直線2x+y=2上にあるとき、a,b,cの値を求める問題です。
解き方を教えてください。

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/10/06 22:56

放物線は頂点を通るy軸に平行な直線を対称軸として線対称になっています。

(-3,0)(1,0)はx軸上にある点なのでやはり線対称の点なので、この2点の中点が頂点を通る直線上の点になります。
x座標の中点は(-3+1)/2=-2/2=-1なので、x=-1が頂点を通る直線です。
このx=-1が直線2x+y=2上にあるので、
2(-1)+y=2
-2+y=2
y=4
よって、頂点の座標は(-1,4)
(-3,0)(1,0)(-1,4)の3点がわかったので、y=ax^2+bx+c に代入して連立で求められます。
他の解法は(-3,0)(1.0)より、ax^2+bx+c=0の解はx=-3,1なので、
y=a(x+3)(x-1)ということがわかります。(-1,4)を代入して
a(-1+3)(-1-1)=4
-4a=4
a=-1
y=-(x+3)(x-1)
y=-(x^2+2x-3)
y=-x^2-2x+3
よって、a=-1,b=-2,c=3

もうひとつは、頂点が(-1.4)なので、放物線の式は
y=a(x+1)^2+4
(1,0)を代入して、
a(1+1)^2+4=0
4a=-4
a=-1
y=-(x+1)^2+4
y=-(x^2+2x+1)+4
y=-x^2-2x-1+4
y=-x^2-2x+3
よって、a=-1,b=-2,c=3

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/06 21:33

> 放物線 y=ax^2+bx+cが、2点(-3,0) (1,0)を通り

a*(-3)^2+b*(-3)+c = 0 ・・・ ①
a*(1)^2+b*(1)+c = 0　・・・ ②

①と②が同時に成り立っている、と言う事。
連立一次方程式として解くと、未知の変数がa, b, cと3つ、なので式の数が足りないが、適当な数rを仮定すると

y = -(r/3)*x^2-(2*r/3)*x+r

と言う二次関数になることが分かるだろう。

> 頂点が直線2x+y=2上にある

y = -(r/3)*x^2-(2*r/3)*x+r = -(r/3)*(x+1)^2+4*r/3

と吉木りさ、もとい、与式を平方完成させた時の式から鑑みると、

x = -1、y = 4*r/3

が直線2x+y=2上にある。
あとは代入してrの値を求めれば良い。