X^17-1＝0の任意の根ひとつのQ上の最小多項式を求めよ、と言う問題がわかりません。 X^17＝e

X^17-1＝0の任意の根ひとつのQ上の最小多項式を求めよ、と言う問題がわかりません。

X^17＝e＾（2πi/17）を用いるのではないかと考えたものの、わかりませんでした。

分かる方教えていただけると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/09 19:18

根の中から X=1 を選択れば、最小多項式は 1次の X-1。

...って、このネタはもう No.1 が書いてたか。

X=1 以外の根ならどれでも最小多項式は共通で、
X^16 + X^15 + X^14 + X^13 + X^12 + X^11 + X^10 + X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1.
これを、 ∑[k=0...16] X^k と書いても Φ17(X) と書いても同じこと。
(X^17 - 1)/(X - 1) は、 X = 1 が代入できるかちょっと怪しいが、
言いたいことは普通の人には伝わる。

この多項式の最小性は、既約性を言えばいいのだと思う。
円分多項式が既約であることの証明は、どっかの教科書でも読んでください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/09 18:26

「任意の」っていっちゃうと 1 を持ってくる奴が出そうな気がする. そして

X^17＝e＾（2πi/17）
ではない. X^17 は 1 だ.

「最小」であることの証明は... どうするんだろ. 結果自体は (X^17-1)/(X-1) のはずだけど.