数学です。 log4の18-log8の54を求めよ。 どなたか分かる方解説までお願い致します。

数学です。
log4の18-log8の54を求めよ。
どなたか分かる方解説までお願い致します。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/11/03 11:28

log(4)18-log(8)54　←　底をそれぞれ4と8とする、底を揃える

=log18/log4　-　log54/log8　　logの底を2で揃えているが底の表記は省略している
=log((3^2)･2)/log(2^2)　-　log((3^3)･2/log(2^3)
=1/2･　(log((3^2)･2)　-　1/3･　log((3^3)･2)
=1/2･(log((3^2)　+　log2)　-　1/3･(log(3^3)　+　log2)　←　log2の底は2なのでlog2=1となる
=1/2･(log((3^2)　+　1)　-　1/3･(log((3^3)　+　1)　←前後の()を外してみる
=1/2･log((3^2)　+　1/2　-　1/3･log(3^3)　-　1/3　←log内の指数は外に出して計算すると消える
=log3-log3+1/6
=1/6

答え　1/6　検算はしてください

対数の問題は公式や法則を覚えていて使いこなせたら、計算自体は難しくないです。
私は美味しい問題だと思うので、習得しないと損です。
それと他にも答えにたどり着くまでの計算方法があります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/03 11:38

底の変換公式は

logaのb=logcのb/logcのa
これを用いて　a=4,b=8,c=2とすれば
log4の18=log₂18/log₂4=log₂18/2 (∵ log₂4=2⇔2²=4)
a=8 b=54 c=2とすれば
log8の54=log₂54/log₂8=log₂54/3 (2³=8⇔log₂8=3)
このことから
与式=(log₂18/2)+(log₂54/3)
=(1/2)log₂18+(1/3)log₂54
=(1/2)log₂18+(1/3)log₂(18・3)
=(1/2)log₂18+(1/3)(log₂18+log₂3) (←←←logMN=logM+logNより）
ところで
log₂18=log₂(2・9)=log₂2+log₂9
=1+log₂(3・3)
=1+log₂3+log₂3
=1+2log₂3 (←←←または公式log₂3²=2log₂3として変形しても良い）
だから　先ほどの続きは

(1/2)log₂18+(1/3)(log₂18+log₂3)
=(1/2)(1+2log₂3)+(1/3)(1+2log₂3+log₂3)
=(1/2)+log₂3+(1/3)+log₂3
=(5/6)+2log₂3

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/03 11:41

ごめん　引き算でしたね

#2の足し算を引き算に改めると
与式=(log₂18/2)-(log₂54/3)
=(1/2)log₂18-(1/3)log₂54
=(1/2)log₂18-(1/3)log₂(18・3)
=(1/2)log₂18-(1/3)(log₂18+log₂3)
=(1/2)(1+2log₂3)-(1/3)(1+2log₂3+log₂3)
=(1/2)+log₂3-(1/3)-log₂3
=1/6