変数変換の問題です

テスト勉強の内容なのですが、次の変数変換が出来なくて困っています。
δx・δy・δzはどのように変換したらよいのでしょうか？
以下、問題になります。

x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ

∇^2 = (δ/δx)^2 + (δ/δy)^2 + (δ/δz)^2
でありますが、これを変数変換して

∇^2 = (1/r^2)(δ/δr)r^2(δ/δr)
+ (1/(r^2*sinθ))(δ/δθ)sinθ(δ/δθ)
　　　　　 + (1/(r^2*sin^2θ))(δ/δφ)^2

としたいのです。
わかりにくそうなところを補足しますと、δは偏微分の記号、sin^2θはサイン二乗θとなります。

どなたかお時間のある方、お教え願います。

No.1 回答者： noname#115702 回答日時： 2005/02/06 02:27

まず∇の極座標表記を求めます。

単位ベクトルを(e_x,e_y,e_z)で表すと、
∇ = e_xδ/δx + e_yδ/δy + ｅ_zδ/∂z

= (sinθcosφ e_ｒ + cosθcosφ e_θ - sinφ e_φ)(sinθcosφ∂/∂r + 1/r cosθcosφ∂/∂θ - 1/r sinθsinφ∂/∂φ)

+ (sinθsinφ e_r + cosθsinφ e_θ + cosφ e_φ)(sinθsinφ∂/∂r + 1/r cosθsinφ∂/∂θ - 1/r sinθcosφ∂/∂φ）

+ (cosθ e_r - sinθ e_θ)(cosθ∂/∂r - 1/r sinθ∂/∂θ)

= e_r ∂/∂r + ｅ_θ 1/r ∂/∂θ + ｅ_φ 1/r sinθ∂/∂φ

ただし(e_r,e_θ,e_φ)は極座標における単位ベクトルで
e_x = sinθcosφ e_r + cosθcosφ e_θ - sinφ e_φ,
e_y = sinθsinφ e_r + cosθsinφ e_θ + cosφ e_φ,
e_z = cosθ e_r - sinθ eθ
である。

∇がベクトルであるから∇^2は(ベクトルの内積をとることに注意して)
∇^2 = (e_r ∂/∂r + ｅ_θ 1/r ∂/∂θ + ｅ_φ 1/r sinθ∂/∂φ
)・(e_r ∂/∂r + ｅ_θ 1/r ∂/∂θ + ｅ_φ 1/r sinθ∂/∂φ
)
= ∂^2/∂r^2 + 1/r ∂/∂r + 1/r^2∂/∂θ + 1/r^2 cosθ/sinθ ∂/∂θ + 1/r^2 1/sin^2θ ∂^2/∂φ^2
= 1/r^2 ∂/∂r(r^2 ∂/∂r) + 1/r^2 1/sinθ ∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ) + 1/r^2 1/sin^2θ ∂^2/∂φ^2
となる。

ポイントは極座標変換とベクトルの内積をとる部分ですかね。

No.2 回答者： noname#115702 回答日時： 2005/02/06 02:31

まず∇の極座標表記を求めます。

単位ベクトルを(e_x,e_y,e_z)で表すと、
∇ = e_xδ/δx + e_yδ/δy + ｅ_zδ/δz

= (sinθcosφ e_ｒ + cosθcosφ e_θ - sinφ e_φ)(sinθcosφδ/δr + 1/r cosθcosφδ/δθ - 1/r sinθsinφδ/δφ)

+ (sinθsinφ e_r + cosθsinφ e_θ + cosφ e_φ)(sinθsinφδ/δr + 1/r cosθsinφδ/δθ - 1/r sinθcosφδ/δφ）

+ (cosθ e_r - sinθ e_θ)(cosθδ/δr - 1/r sinθδ/δθ)

= e_r δ/δr + ｅ_θ 1/r δ/δθ + ｅ_φ 1/r sinθδ/δφ

ただし(e_r,e_θ,e_φ)は極座標における単位ベクトルで
e_x = sinθcosφ e_r + cosθcosφ e_θ - sinφ e_φ,
e_y = sinθsinφ e_r + cosθsinφ e_θ + cosφ e_φ,
e_z = cosθ e_r - sinθ eθ
である。

∇がベクトルであるから∇^2は(ベクトルの内積をとることに注意して)
∇^2 = (e_r δ/δr + ｅ_θ 1/r δ/δθ + ｅ_φ 1/r sinθδ/δφ
)・(e_r δ/δr + ｅ_θ 1/r δ/δθ + ｅ_φ 1/r sinθδ/δφ
)
= δ^2/δr^2 + 1/r δ/δr + 1/r^2 δ/δθ + 1/r^2 cosθ/sinθ δ/δθ + 1/r^2 1/sin^2θ δ^2/δφ^2
= 1/r^2 δ/δr (r^2 δ/δr) + 1/r^2 1/sinθ δ/δθ (sinθ δ/δθ) + 1/r^2 1/sin^2θ δ^2/δφ^2
となる。

ポイントは極座標変換とベクトルの内積をとる部分ですかね。数式は見づらいですね・・・。

この回答へのお礼

長い返答ありがとうございます。
うーん・・・実はこれを見てもまだわからないのですが・・・すみません；

δ/δx
↓
sinθcosφδ/δr + 1/r cosθcosφδ/δθ - 1/r sinθsinφδ/δφ
の変換では、どのようにして1/rが出てくるのでしょうか？
x = rsinθcosφということは、δx/δθ = rcosθcosφとなり、二項目はrcosθcosφδ/δθとはならないのでしょうか？


それと、内積ですが、A = (x,y,z)の場合、A^2 = x^2 + y^2 + z^2となりますよね。
∇^2 = (δ/δr)^2 + (1/r δ/δθ)^2 + (1/r sinθδ/δφ
)^2とはならないのでしょうか？

お礼日時：2005/02/06 09:41

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#115702 回答日時： 2005/02/06 16:37

二項目の計算はこうなります。

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθですので

tan^2θ = (x^2 + y^2)/z^2　　　　　　 ・・・(1)

これをxで偏微分すると
(左辺) = δ(tan^2θ)/δx
= δ(tan^2θ)/δ(tanθ) δ(tanθ)/δθ δθ/δx
= 2tanθ 1/cos^2θ δθ/δx
= 2sinθ/cos^3θ δθ/δx

(右辺) = 2x/z^2
= 2rsinθcosφ/r^2cos^2θ

したがって、(1)式は

2sinθ/cos^3θ δθ/δx = 2sinθcosφ/rcos^2θ

となり

δθ/δx = 1/r cosθcosφ

となります。こうして1/rが出てきます。

内積の部分ですが、δ/δxといったものは単純な記号ではありませんので、順番を入れ替えてはいけません。
実際に波動関数などに適用して計算してみると、分かりやすいかもしれません。

この回答へのお礼

続けての回答ありがとうございます。
なるほど！こういうことになっていたのですか。
よくわかりました。
内積は、もう少し自分で調べてみます。
どうもありがとうございました！

お礼日時：2005/02/07 00:33

No.4 回答者： scale--free 回答日時： 2005/02/06 19:11

まず、計算のポイントとしては、

（１）　いきなり３次元極座標を用いるよりも、一度円柱座標で表してから、
極座標を計算したほうがカンタン！
（２）　微分オペレータの扱いに慣れていないのなら、関数を入れてみて計算する。
です。

（１）は
(x,y,z) = (Rcosφ,Rsinφ,z)
という円柱座標(R,θ,z)で書いた後、
(x,y,z) = (Rcosφ,Rsinφ,z) = (rsinθcosφ,rsinθsinφrcosθ)
という極座標に直したほうが計算が簡単になります。
ここで
R = rsinθ, z = rcosθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
という関係に注意しましょう。

そこで、まず円柱座標で計算をして見ましょう。
座標zは変化していないので、zについては微分しなくてもよいですね。
さて、f(x,y,z) = f(Rcosφ,Rsinφ,z) をRについて微分すると

δf/δR = (δf/δx)(δx/δR) + (δf/δy)(δy/δR)
= cosφ(δf/δx) + sinφ(δf/δy)

となります。さらに、φについて微分すると、

δf/δφ = (δf/δx)(δx/δφ) + (δf/δy)(δy/δφ)
= -Rsinφ(δf/δx) + Rcosφ(δf/δy)

となります。これらより、


δf/δx = cosφ(δf/δR) - (sinφ/R)(δf/δφ)
δf/δy = sinφ(δf/δR) + (cosφ/R)(δf/δφ)

です。

さらに、

δ^2 f/δx^2 = δ/δx ( δf/δx )
δ^2 f/δy^2 = δ/δx ( δf/δy )

にしたがって計算をすると、

δ^2 f/δx^2 + δ^2 f/δx^2
= δ^2 f/δR^2 + (1/R)(δf/δR) + (1/R^2)(δ^2 f/δφ^2)

です。よって、

∇^2 = δ^2 f/δx^2 + δ^2 f/δy^2 + δ^2 f/δz^2
= δ^2 f/δR^2 + (1/R)(δf/δR) + (1/R^2)(δ^2 f/δφ^2) + δ^2 f/δz^2

となります。
あとはさらに極座標に直せばよいのです。
が、あることに気付くと、最右辺第１項と第４項は計算を省くことができます。
（＊）に注意しましょう。

この回答へのお礼

こういうやり方もあるんですね・・・
非常に参考になりました。
回答、どうもありがとうございました！

お礼日時：2005/02/07 00:40