1番下の行の答えまでの変換が分かりません。2倍角を使うということは理解できるのですが、公式から上手く

1番下の行の答えまでの変換が分かりません。2倍角を使うということは理解できるのですが、公式から上手く変換できないんです。教えてください。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/30 18:31

y = (cos⁵ x)sin(5x) を書かずに計算を始めてしまうのは、

どんなもんだかな...という気はする。

{ (cos⁵ x)sin(5x) }’
= (cos⁵ x)’sin(5x) + (cos⁵ x)sin(5x)’ は、
積の微分法則。

(cos⁵ x)’sin(5x) + (cos⁵ x)sin(5x)’
= 5(cos⁴ x)(-sin x)sin(5x) + (cos⁵ x)cos(5x)5 は、
合成関数の微分法則。
(cos⁵ x)’ = 5(cos⁴ x)(-sin x),
sin(5x)’ = cos(5x)5
を使った。

5(cos⁴ x)(-sin x)sin(5x) + (cos⁵ x)cos(5x)5
= 5(cos⁴ x){ (-sin x)sin(5x) + (cos x)cos(5x) } は、
共通因数の括り出し。

5(cos⁴ x){ (-sin x)sin(5x) + (cos x)cos(5x) } = 5(cos⁴ x)cos(6x) は、
cos の加法定理。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/29 15:15

１行目から２行目は、複合関数の微分。

１項目は　cos(x) = Y とおいて
　(cos^5(x))' = d(Y^5)/dx = (d(Y^5)/dY)(dY/dx)
　　　　　　　= 5Y^4 * (-sin(x))
２項目は　5x = Z とおいて
　(sin(5x))' = d(sin(Z))/dx = [d(sin(Z))/dZ](dZ/dx)
　　　　　　= cosZ ･５

２行目から３行目第１式へは 5cos^4(x) でくくっただけ。

３行目第１式から第２式は、単なる加法定理です。

cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB

の逆を使ったもの。
　A = x
　B = 5x
です。