三角関数sin3xをとくと？

sin３６°を説くときに
a=３６°として
sin（3a）=3sin(a)-4sin(a)×sin(a)×sin(a)
という式が回答の中に出てきたのですが
この等式はなぜ成り立つのかが分かりません
誰か教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： Executione 回答日時： 2011/01/24 22:54

3倍角の公式です。

加法定理から
sin(2a+a)=sin2a・cosa+sina・cos2a
sin2a=2sinacosa
cos2a=cos^2a-sin^2a=1-2sin^2a（二倍角）
これを上の式に代入して
sin3a=2sinacos^2a+sina(1-2sin^2a)・・・・cos^2a=1-sin^2aなので
=2sina(1-sin^2a)+sina(1-2sin^2a)
=3sina-4sin^3a


cos3aも念のために

cos(2a+a)=cos2a・cosa-sin2a・sina
cos2a=1-2sin^2a=1-2(1-cos^2a)=2cos^2a-1
sin2a=2sinacosaを上に代入して
=(2cos^2a-1)・cosa-2sina・cosa・sina
=2cos^3a-cosa-2・cosa・sin^2a
sin^2a=1-cos^2aだから
=2cos^3a-cosa-2・cosa(1-cos^2a)
=2cos^3a-cosa-2cosa+2cos^3a
=4cos^3a-3cosa

この回答へのお礼

非常によく分かりました
ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/25 07:13

No.3 回答者： kk0578 回答日時： 2011/01/25 00:13

sin3a=3sina-4sina×sina×sina

はいわば公式です。
覚えましょう。

といっても、原理を理解していないと納得できないと思うので、一応解説しておきます。

※数IIの加法定理を学習していることを前提に解説します。

まず、
sin3a＝sin(a＋2a)

加法定理より、
sin(a＋2a)＝　sina・cos2a＋cosa・sin2a・・・(1)

ここで、2倍角の公式より、
cos2a＝1-2(sin^2 a)　←「sin二乗a」のことです。
sin2a＝2sinacosa

なので、(1)式に代入すると、
sin(a＋2a)＝sina(1-2sin^2 a）＋cosa（2sinacosa)
sin3a＝sina－2sin^3 a＋2sinacos^2 a

さらに、2倍角の公式より
sin3a＝sina－2sin^3 a＋2sina(1-2sin^2 a)
sin3a＝3sina－4sin^3 a

よって、質問者さんが書いていた式になりますね。

この公式は一般に「3倍角の公式」と呼ばれています。
sin3aだけでなく、cos3a、tan3aも、同様に3a＝a＋2aにして、加法定理でうまく式変形すれば、上のような式が求められます。

もしこの途中で使った「2倍角の公式」や「半角の公式」、「加法定理」を覚えていないのなら、もう一度教科書をしっかり復習しましょう。また、発展としてとりあげられている「和積・積和の公式」も覚えておくと便利な場合があります。

インターネットでも「　」の語句を検索すれば、導き方も出ていると思いますので、参考にしてください。

この回答へのお礼

非常によく分かりました
ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/25 07:12

No.2 回答者： raionzumanshon 回答日時： 2011/01/24 22:55

三倍角の公式です。

http://www.suriken.com/knowledge/glossary/formul …

この回答へのお礼

よく分かりました
ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/25 07:13