流体力学についてです。 物体の表面形状の関数をf(x,y,z)とした時、この面の単位法線ベクトル(l

流体力学についてです。

物体の表面形状の関数をf(x,y,z)とした時、この面の単位法線ベクトル(l,m,n)を用いると
微分幾何学から

l:m:n=∂f/∂x:∂f/∂y:∂f/∂z

と表せらしいのですが、なぜこのように表せるのかわかりません。∂f/∂x:∂f/∂y:∂f/∂zは各成分の表面形状の関数の傾きなので、法線ベクトルではなく、接線ベクトルの傾きと等しくなるのではないのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/29 19:06

∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z は接線ではありません。

曲面（表面）を f(x,y,z)=0 としたとき、表面上の曲線を
パラメータ表示で x(t),y(t),z(t)とします。すると
f(x(t),y(t),z(t))=0 となり、tで微分すると

fxx'+fyy'+fzz'=0 (ここで、fx=∂f/∂x , x'=dx/dt などとする)
→ <fx,fy,fz>・<x',y',z'>=0 (ここで、<・>はベクトルとする)

<x',y',z'>は位置ベクトル<x,y,z>の微分なので、接線ベクトル
ですから、ベクトル<fx,fy,fz>は接線と直交しています。つまり、
法線ヘクトルとわかります。

たとえば、f(x,y,z)=x とすると　f=0は y-z平面を表し、その
法線ベクトルは
<fx,fy,fz>=<1,0,0>
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/12/30 09:27

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/12/29 19:06

>∂f/∂x:∂f/∂y:∂f/∂zは各成分の表面形状の関数の傾きなので

まずこの認識が間違っている。
y=f(x)の表す線の接線の傾きはdf/dxです。

でも、質問になる表面の方程式はy=f(x)ではありませんよね。
質問者は書いていませんが
f(x,y,z)=c　　(c:定数)
という方程式が表面を表す方程式です。
ですので接線の傾きというのは∂f/∂ｘとかにはならないのです。


表面上の点(x,y,z)に対して微小変位を与えた(x+dx,y+dy,z+dz)という点を考えます。
この点もf(x,y,z)=cとなる面上にあるという制約をかけます。
すると当然のことながら
f(x+dx,y+dy,z+dz)=c
が成り立ちます。この方程式と元の点の方程式から
f(x+dx,y+dy,z+dz)-f(x,y,z)=0
となります。
左辺を変形すると
∂f/∂ｘ*dx+∂f/∂y*dy+∂f/∂z*dz=0
となります。(これがわからないようなら教科書を読みなおすことを強くお勧めします)
この式をよく見ると
(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)・(dx,dy,dz)=0
と二つのベクトル(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)と(dx,dy,dz)のスカラー積になっていることがわかる。
あとは(dx,dy,dz)がどのようなベクトルであるのか考えれば(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)が(x,y,z)における面f(x,y,z)=cの法線ベクトルであることがわかるでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/12/30 09:27

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2020/12/29 19:03

> 物体の表面形状の関数をf(x,y,z)とした時、

f(x,y,z)はただの関数です。何らかの方程式の形になっていないと形状は決まりません。

f(x,y,z)=0という方程式を想定している事にしますと、
> ∂f/∂x:∂f/∂y:∂f/∂zは各成分の表面形状の関数の傾きなので、法線ベクトルではなく、接線ベクトルの傾きと等しくなるのではないのですか？

どうお考えなのかよく理解できませんが、まずは証明云々の前に具体例で考えてみた方が良いかと思います。

例えばf(x,y,z)=zの時で、z=0はxy平面を表しますが、
この例で「表面形状の傾き」とは何を表し、「接線ベクトル」とどう関係するとお考えですか？
※そもそも(xy平面の)接線ベクトルとはどの方向ですか？x方向？y方向？それ以外？

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/12/30 09:27