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評価関数 f = x^3+y^3+(L-x-y)^3 はx,yについて連続関数なので、偏微分してみればx=y=L/3の時にfが極値になるとわかる。
もちろん、これが極小なのか極大なのかをチェックする必要がありますね。でも、それだけじゃ不足です。なぜなら、求められているのは「極小」ではなく、「最小」だから。
例えばxについて考えますと、xは0<x<Lという範囲に限定されています(この条件は「長さLの線分を3つの部分に分ける」という表現に含意されている)。だから、その範囲の端っこで最小値になってたり(例えば x→0のときfが最小だったり)しないか、を確認する必要があります。そこで、x=0やx=Lの場合をチェックしてるんです。
「 f(x) = x(x^2 - 1) (-3<x<3)の最小値は?」という例題を考えてみれば、「範囲の端っこで最小値になってたりしないか?」のチェックが重要だということが腑に落ちるんでは?
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