幾何の問題です。

量子力学の問題の一部で、三次元の幾何の問題です。

三次元のベクトルk, k', Fがあるとき、それぞれのなす角θkk'、θkF、θk'Fと三次元の極座標である角度φk'とφFを定義します。φはx軸からk'、もしくは、Fのxy平面への射影成分に対する角度です。このとき、θk'Fをそれ以外の角度を用いて表すことができるようなのですが、方法がわかりません。(|k| = |k'|ですが、Fは大きさが異なります。)

答えは、

cos(θk'F) = cos(θkk')cos(θkF) - sin(θkk')sin(θkF)cos(φk' - φF)

となるようです。

射影を何回か用いれば、成分は出てくるのですが、数式で表すことはできませんでした。

問題全体は、三次元の半導体材料のエネルギー依存の緩和時間を求める問題で、ボルツマン方程式による解法の終盤です。


よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/16 10:08

ご質問のφは、xy平面を赤道面だと思う球面座標系における「経度」を表しています。

「緯度」ξとセットにして(ξ,φ)で球面上の点が指定できる。（さらにベクトルの長さLを指定すれば、(L,ξ,φ)で3次元の極座標になるけれども、ここでは必要ない。）
　さて、球面三角法によれば、点a = (ξ[a],φ[a])と点b = (ξ[b],φ[b])のなす角度（大円距離）θ[a,b] は
　　cosθ[a,b] = sinξ[a]sinξ[b] + cosξ[a]cosξ[b]cos(φ[a]-φ[b])
です。だから、これに (a,b)=(k,k'), (a,b)=(k,F), (a,b)=(k',F)を代入して得られる3本の式からなる連立方程式（未知数はξ[k], ξ[k’], ξ[F])を解けば良いってことで、あとは三角関数の問題。

この回答へのお礼

ありがとうございます！解決しました！

お礼日時：2021/01/17 01:24