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3次元空間内に△OABがあり、その面積をSとします。
△OABがつくる平面の法線単位ベクトルをn=(cosα、cosβ、cosγ)とするとき、
△OABをx-y平面に射影してできた△OA'B'の面積S'は

 S'=S |cosγ|

となる・・・らしいのですが、その理由がわからずにいます。


n=(cosα,cosβ,cosγ)
a=(a1,a2,a3)
b=(b1,b2,b3)
a'=(a1,a2,0) :ベクトルaをx-y平面に射影したベクトル
b'=(b1,b2,0) :ベクトルbをx-y平面に射影したベクトル

とすると、外積の利用により
S=1/2×|(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)|
S'=1/2×|(0,0,a1b2-a2b1)|
などがわかります。
そこから、どうやって S'=S |cosγ| に辿りつけるでしょうか?

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内積 意味」に関するQ&A: 内積、外積の意味

A 回答 (4件)

No.2 を補足したい。

誰かの参考になるかもしれないから。

ベクトル (0, 0, 1) と単位ベクトル n=(x, y, z) のなす角をγとおくと、内積をとって

1・1・cosγ= z

なので、γの図形的な意味がわかる。


また、No.2 に図も付け加えておきたい。
「三角形の面積の射影と方向余弦について」の回答画像4
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この回答へのお礼

お礼まで時間が経ってしまいました。ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/06 07:39

申し訳ない。

間違えてた。

君の書いている通り

dxdy = cosθ dudv

であった。

y(v2) - y(v1) = cosθ(v2 - v1)

だからね。締め切られてなくて助かったよ。
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この回答へのお礼

お礼がすっかり遅くなりました。

丁寧に補足いただきありがとうございます。

考え方が確認できてよかったです。

お礼日時:2015/01/21 03:33

別人だけど、書くよ。



平行でない2つの平面を考える。ひとつを水平面とし、もうひとつを斜面とする。なす角をθ(鋭角)とする。さらに、共有線を東西に設定し、斜面は北に向かって上るものする。
水平面の座標を、東向きを x の方向、北向きを y の方向として決め、斜面の座標を、東向きを u の方向、北に上る方向を v の方向とする。すると面素の関係は

dudv = cosθ dxdy

なので、斜面にある図形が水平面に投影されると、その面積は cosθ 倍になる。

質問の設定に当てはめれば、cosγ>0 のときは θ=γ、cosγ<0 のときは θ+γ=π なので |cosγ|=cosθ である。これは、z 軸とベクトル n に平行な面で切断した図でみるとよい。γは z 軸とベクトル n のなす角と考えることができる。


面素がピンと来なければ、東西、南北に平行な線分でできた大小の長方形で図形を充填し、その面積を級数で表せば、cosθ でくくれることから示すことができる。あとは図にかいて、cosθ と cosγ の関係を調べればよい。


私は以上のように考えました。
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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。

ベクトルの問題を微積に結びつけて考えるところが私にとってはとても斬新です。
“面素”という概念は、微積の定義などを知っているので、私なりのイメージを持つことができました。
面積がcosθ倍されるということが、ちょっとだけ直観として理解できたような気がします。

ありがとうございました。

※なお、回答の中の
dudv = cosθ dxdy

dxdy = cosθ dudv
ではありませんか?
自信ないですが・・・。

お礼日時:2015/01/02 23:08

>S=1/2×|(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)|


ベクトル(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)=↑Nと書くと
↑N=|↑N|*↑nだから
↑n=↑N/|↑N|=((a2b3-a3b2)/|↑N|,(a3b1-a1b3)/|↑N|,(a1b2-a2b1)/|↑N|)
=(cosα、cosβ、cosγ)
cosγ=(a1b2-a2b1)/|↑N|
|a1b2-a2b1|=|↑N|*|cosγ|
S=(1/2)*|↑N|だから
S'=1/2×|(0,0,a1b2-a2b1)|=|a1b2-a2b1|/2
=(1/2)*|↑N|*|cosγ|=S*|cosγ|
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この回答へのお礼

回答をいただきありがとうございます。

回答の計算過程を読ませていただき、
式だけを見ると、
S'=S*|cosγ|
は当たり前の式に思えてきました。


外積の大きさが面積を表していて、
さらにx-y平面であれば、z軸と成す角γの!
その余弦をかけると、x-y平面へ射影した図形の面積になる・・・!
式では当たり前でも、直観としては、私にはとても理解できません。
外積って不思議ですね。

もし、式変形でなく、図形的な説明などがあったら、
ぜひ教えてください。

お礼日時:2014/12/29 12:05

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(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
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(1)
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(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
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参考URL:http://exile.itc.pref.tokushima.jp/report/femop/mode-post2/default.htm

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     ↓↓↓
     ---
   ←|   |→
σx ←|   |→ σx
   ←|   |→
     ---
     ↑↑↑
     -σy

と言う状態です。

詳しくは,
チモシェンコ「材料力学 上巻」鵜戸口,国尾訳 東京図書(2000)
などの材料力学の書籍をご覧ください。

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

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対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
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となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
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です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

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Q線形・非線形って何ですか?

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問:線形、非線型ってどういう意味ですか?』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間+歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=A(一定)

という規則が成り立つからです。

xやyの例としては昨日の例で言う例1だとxがガムの個数、yが全体の金額、例2だとxが時間、yが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

(yの増加量)=A×(xの増加量)・・(1)

ということがわかります。つまり、Aの値さえわかれば、xが増えたときのyの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Aの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて(下に落ちるにつれて)落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、1秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。(ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです)

数学の問題のように初めから「時速100kmで走る」とか「1個100円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Aの値さえわかれば」の「A」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。(ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか??)つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。(これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です)つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか?実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが(もちろん単なる線形よりは難しいですが)できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。(つまり、非線形のものが多いんです)

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=...続きを読む

Q空間における三角形の面積は外積で求められない?

平面における三角形の面積は、外積(平行四辺形の面積)を
2で割って求められました。
空間における三角形の面積を求めようと、外積を求め2で割っても
三角形の面積になりませんでした。
なぜなのでしょうか?

Aベストアンサー

>外積=ベクトルなんでしょうか?
そうです!! ここが、質問者さんが勘違いされていたところですね。
外積と呼ばずに「ベクトル積」と呼べ(覚えれ)ば、誤解しなかったですね。
これに対し、内積はスカラー積とも呼ばれています。

参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node63.html

Q形式電荷の求め方

(H3C)2-O-BF3のOの形式電荷の求め方を教えてください。
荷電子-孤立電子対の数+(結合電子の数)/2の式で計算できるようなんですが
この式に当てはめるとOの価電子6-孤立電子2+([C-O]2本+[B-0]1本)/2
でいいんでしょうか?
いまいち結合電子の数というのがわかりません。

Aベストアンサー

結合電子というのは結合に使われている電子のことですね。すなわち、単結合1本に付き2電子ということになります。二重結合なら4電子、三重結合なら6電子ということになります。
その電子の半分が片方の電子の属していると考えます。つまり、結合ができている場合には、その2個の原子が結合に使われている電子を同数ずつ分け合うと考えるわけです。

ご質問の場合では、
酸素原子の本来の価電子=6であり、この数に対して過不足がある場合に形式電荷が生じることになります。

(H3C)2-O-BF3のOの場合では、
孤立電子対1組による2電子が酸素に属する
結合電子対3組による3電子が酸素に属する
ということになり、合計5電子が酸素に属することになります。
これは本来の価電子数6よりも1個少ないことになりますので、陽子数が電子数を1個上回るために+1の形式電荷を持つことになります。

公式に頼ることなく、本来の意味を理解した方が応用が利くので良いと思います。

慣れてくれば、本来酸素は2本の共有結合を作る時に形式電荷が0になり、その結合が3本に増えるということは孤立電子対が1組へって、結合電子対に変化したことになる。孤立電子対の電子は2個とも酸素に属するが、結合電子対では1個のみが属する。したがって、形式的に電子が1個減少したことになるので+1の形式電荷を持つはず・・という風に考えた方が速いです。

結合電子というのは結合に使われている電子のことですね。すなわち、単結合1本に付き2電子ということになります。二重結合なら4電子、三重結合なら6電子ということになります。
その電子の半分が片方の電子の属していると考えます。つまり、結合ができている場合には、その2個の原子が結合に使われている電子を同数ずつ分け合うと考えるわけです。

ご質問の場合では、
酸素原子の本来の価電子=6であり、この数に対して過不足がある場合に形式電荷が生じることになります。

(H3C)2-O-BF3のOの場合で...続きを読む


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