三角形の面積の射影と方向余弦について

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質問者：tsukita
質問日時：2014/12/28 22:03
回答数：4件

３次元空間内に△OABがあり、その面積をSとします。
△OABがつくる平面の法線単位ベクトルをn=(cosα、cosβ、cosγ)とするとき、
△OABをx-y平面に射影してできた△OA'B'の面積S'は

　S'=S |cosγ|

となる・・・らしいのですが、その理由がわからずにいます。

n=(cosα,cosβ,cosγ)
a=(a1,a2,a3)
b=(b1,b2,b3)
a'=(a1,a2,0)　：ベクトルaをx-y平面に射影したベクトル
b'=(b1,b2,0)　：ベクトルbをx-y平面に射影したベクトル

とすると、外積の利用により
S=1/2×|(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)|
S'=1/2×|(0,0,a1b2-a2b1)|
などがわかります。
そこから、どうやって　S'=S |cosγ|　に辿りつけるでしょうか？

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回答 (4件)

No.1

回答者： yyssaa
回答日時：2014/12/29 09:33

＞S=1/2×|(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)|

ベクトル(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)=↑Nと書くと
↑N=|↑N|*↑nだから
↑n=↑N/|↑N|=((a2b3-a3b2)/|↑N|,(a3b1-a1b3)/|↑N|,(a1b2-a2b1)/|↑N|)
=(cosα、cosβ、cosγ)
cosγ=(a1b2-a2b1)/|↑N|
|a1b2-a2b1|=|↑N|*|cosγ|
S=(1/2)*|↑N|だから
S'=1/2×|(0,0,a1b2-a2b1)|=|a1b2-a2b1|/2
=(1/2)*|↑N|*|cosγ|=S*|cosγ|

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この回答へのお礼

回答をいただきありがとうございます。

回答の計算過程を読ませていただき、
式だけを見ると、
S'=S*|cosγ|
は当たり前の式に思えてきました。

外積の大きさが面積を表していて、
さらにｘ－ｙ平面であれば、ｚ軸と成す角γの！
その余弦をかけると、ｘ－ｙ平面へ射影した図形の面積になる・・・！
式では当たり前でも、直観としては、私にはとても理解できません。
外積って不思議ですね。

もし、式変形でなく、図形的な説明などがあったら、
ぜひ教えてください。

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お礼日時：2014/12/29 12:05

No.2

回答者： hiccup
回答日時：2015/01/02 21:16

別人だけど、書くよ。

平行でない２つの平面を考える。ひとつを水平面とし、もうひとつを斜面とする。なす角をθ（鋭角）とする。さらに、共有線を東西に設定し、斜面は北に向かって上るものする。
水平面の座標を、東向きを x の方向、北向きを y の方向として決め、斜面の座標を、東向きを u の方向、北に上る方向を v の方向とする。すると面素の関係は

dudv = cosθ dxdy

なので、斜面にある図形が水平面に投影されると、その面積は cosθ 倍になる。

質問の設定に当てはめれば、cosγ>0 のときは θ=γ、cosγ<0 のときは θ＋γ＝π なので |cosγ|=cosθ である。これは、z 軸とベクトル n に平行な面で切断した図でみるとよい。γは z 軸とベクトル n のなす角と考えることができる。

面素がピンと来なければ、東西、南北に平行な線分でできた大小の長方形で図形を充填し、その面積を級数で表せば、cosθ でくくれることから示すことができる。あとは図にかいて、cosθ と cosγ の関係を調べればよい。

私は以上のように考えました。

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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。

ベクトルの問題を微積に結びつけて考えるところが私にとってはとても斬新です。
“面素”という概念は、微積の定義などを知っているので、私なりのイメージを持つことができました。
面積がcosθ倍されるということが、ちょっとだけ直観として理解できたような気がします。

ありがとうございました。

※なお、回答の中の
dudv = cosθ dxdy
は
dxdy = cosθ dudv
ではありませんか？
自信ないですが・・・。

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お礼日時：2015/01/02 23:08