二次関数の場合分けについて

y=x^2+ax+1が区間(-2<x<-1)において、y=0となる点が１つであるときのaの値を求めなさい
という問題なのですが、答えが2通り出てしまいどこが間違っているのかが分かりません
答えは2<a<5/2でした

私が考えたのは以下の通りです

まず下の写真のように、
1. 放物線の軸が-1より大きい場合
2. 放物線の軸が-2より小さい場合
の２つに場合分けしました

1の場合は、
x=-2の時のy座標が正である…①
x=-1の時のy座標が負である…②
この２つから式を立てて、連立すると
2<a<5/2になりました

2の場合は
x=-2の時のy座標が負である…①
x=-1の時のy座標が正である…②
この２つから式を立てて、連立すると
a<2, 5/2<aになりました

２つともy=0となる点が１つであり、適していると思ったのですが、何か条件が抜けているのでしょうか
色々考えたのですが、自分では気づくことができません
どこが間違っているのか、指摘して頂くとありがたいです
どなたかお願いします

質問者からの補足コメント

• 確かに色々と条件が抜けていましたね
  ありがとうございます、助かりました

    補足日時：2021/02/07 09:41

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2021/02/04 00:19

まず下の写真のように、

1. 放物線の軸が-1より大きい場合
2. 放物線の軸が-2より小さい場合
の２つに場合分けしました

　　　　　⇓

①　軸が　-1 と -2 の間にある場合を考えていない
②　軸を求め、１であれば
　　-1<軸　から　a の範囲　を求め、１の場合の　2<a<5/2　が
　　適しているかどうかを吟味していない
　　２の場合も同様


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f(x)=y=x^2+ax+1=(x+a/2)^2-a^2/4+1　(-2<x<-1)
より、軸は直線 x=-a/2

この放物線は下に凸で、放物線は軸に対して左右対称だから
(1)　-a/2<-3/2　すなわち　a>3 のとき
　　f(-2)<0　かつ　f(-1)>0
(2)　-3/2<-a/2　すなわち　a<3 のとき
　　f(-2)>0　かつ　f(-1)<0
(3)　-a/2=-3/2　すなわち　a=3 のとき
の３つの場合に分けて考えればよい

(1) のとき
　　f(-2)<0　より　5-2a<0　a>5/2
　　f(-1)>0　より　2-a>0　a<2
　　f(-2)<0　かつ　f(-1)>0　を満たす a の値は存在しないので不適

(2) のとき
　　f(-2)>0　より　5-2a>0　a<5/2
　　f(-1)<0　より　2-a<0　a>2
　　f(-2)>0　かつ　f(-1)<0　を満たす a の値は　2<a<5/2
　　これは　a<3　に適する

(3) のとき
　　f(x)=x^2+3x+1 となり
　　f(-3/2)=9/4-9/2+1=-5/4≠0
　　y=f(x) はｘ軸に接しないので不適

以上(1) ～ (3) より求める a の値の範囲は
　　2<a<5/2


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軸が　与えられた区間 (-2<x<-1) の中央？ (x=-3/2) の
(1)　左側にある
(2)　右側にある
(3)　中央にある
の３つの場合に分けて考えればよいのでは

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/04 05:42

y=x²+ax+1

x=0 のとき y=1 よりグラフは(0,1) でy軸と交わります。したっがって、１のグラフは間違いです。

y=x²+ax+1
=(x + a/2)² - a²/4+1
グラフは下に凸の放物線で、軸は x= - a/2 です。

2. 軸が -2 より小さい場合
- a/2< - 2
a>4
f(-1)=2 - a
f(-2)=5 - 2a
a>4 のとき、f(-1)<0 , f(-2)<0 です。したっがって、２のグラフは間違いです。

1. 放物線の軸が -1より大きい場合
- a/2> - 1
a<2
a<2 のとき、f(-1)>0 , f(-2)>0 です。したっがって、1 のグラフは間違いです。

これより、場合分けで残された部分 - 2 ≦ x ≦ - 1 の範囲に軸があることになります。しかし、軸で場合分けすると大変なので次のように考えます。

y=x²+ax+1が区間(-2<x<-1)において、y=0となる点が１つであるということは、次の2つの場合が考えられます。
[1] y=x²+ax+1のグラフが区間(-2<x<-1)において、ｘ軸に接している。
[2] y=x²+ax+1のグラフが区間(-2<x<-1)において、ｘ軸と1点でだけ交わる。

[1] の場合
判別式Ｄ=a² - 4=0
a=±2
y=x²±2x+1=(x±1)²
接点は、(-1 , 0) , (1 , 0)
よって、a=±2 は不適。

[2] の場合
f(-2)>0 かつ f(-1)<0
または、
f(-2)<0 かつ f(-1)>0

まとめると、
f(-2)・ f(-1)<0
よって、
(5-2a)(2-a)<0
(2a-5)(a-2)<0
したがって、
2<a<5/2