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y=x^2+ax+1が区間(-2<x<-1)において、y=0となる点が1つであるときのaの値を求めなさい
という問題なのですが、答えが2通り出てしまいどこが間違っているのかが分かりません
答えは2<a<5/2でした

私が考えたのは以下の通りです

まず下の写真のように、
1. 放物線の軸が-1より大きい場合
2. 放物線の軸が-2より小さい場合
の2つに場合分けしました

1の場合は、
x=-2の時のy座標が正である…①
x=-1の時のy座標が負である…②
この2つから式を立てて、連立すると
2<a<5/2になりました

2の場合は
x=-2の時のy座標が負である…①
x=-1の時のy座標が正である…②
この2つから式を立てて、連立すると
a<2, 5/2<aになりました

2つともy=0となる点が1つであり、適していると思ったのですが、何か条件が抜けているのでしょうか
色々考えたのですが、自分では気づくことができません
どこが間違っているのか、指摘して頂くとありがたいです
どなたかお願いします

「二次関数の場合分けについて」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 確かに色々と条件が抜けていましたね
    ありがとうございます、助かりました

      補足日時:2021/02/07 09:41
gooドクター

A 回答 (2件)

まず下の写真のように、


1. 放物線の軸が-1より大きい場合
2. 放物線の軸が-2より小さい場合
の2つに場合分けしました

     ⇓

① 軸が -1 と -2 の間にある場合を考えていない
② 軸を求め、1であれば
  -1<軸 から a の範囲 を求め、1の場合の 2<a<5/2 が
  適しているかどうかを吟味していない
  2の場合も同様


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

f(x)=y=x^2+ax+1=(x+a/2)^2-a^2/4+1 (-2<x<-1)
より、軸は直線 x=-a/2

この放物線は下に凸で、放物線は軸に対して左右対称だから
(1) -a/2<-3/2 すなわち a>3 のとき
  f(-2)<0 かつ f(-1)>0
(2) -3/2<-a/2 すなわち a<3 のとき
  f(-2)>0 かつ f(-1)<0
(3) -a/2=-3/2 すなわち a=3 のとき
の3つの場合に分けて考えればよい

(1) のとき
  f(-2)<0 より 5-2a<0 a>5/2
  f(-1)>0 より 2-a>0 a<2
  f(-2)<0 かつ f(-1)>0 を満たす a の値は存在しないので不適

(2) のとき
  f(-2)>0 より 5-2a>0 a<5/2
  f(-1)<0 より 2-a<0 a>2
  f(-2)>0 かつ f(-1)<0 を満たす a の値は 2<a<5/2
  これは a<3 に適する

(3) のとき
  f(x)=x^2+3x+1 となり
  f(-3/2)=9/4-9/2+1=-5/4≠0
  y=f(x) はx軸に接しないので不適

以上(1) ~ (3) より求める a の値の範囲は
  2<a<5/2


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

軸が 与えられた区間 (-2<x<-1) の中央? (x=-3/2) の
(1) 左側にある
(2) 右側にある
(3) 中央にある
の3つの場合に分けて考えればよいのでは
    • good
    • 1

y=x²+ax+1


x=0 のとき y=1 よりグラフは(0,1) でy軸と交わります。したっがって、1のグラフは間違いです。

y=x²+ax+1
=(x + a/2)² - a²/4+1
グラフは下に凸の放物線で、軸は x= - a/2 です。

2. 軸が -2 より小さい場合
- a/2< - 2
a>4
f(-1)=2 - a
f(-2)=5 - 2a
a>4 のとき、f(-1)<0 , f(-2)<0 です。したっがって、2のグラフは間違いです。

1. 放物線の軸が -1より大きい場合
- a/2> - 1
a<2
a<2 のとき、f(-1)>0 , f(-2)>0 です。したっがって、1 のグラフは間違いです。

これより、場合分けで残された部分 - 2 ≦ x ≦ - 1 の範囲に軸があることになります。しかし、軸で場合分けすると大変なので次のように考えます。

y=x²+ax+1が区間(-2<x<-1)において、y=0となる点が1つであるということは、次の2つの場合が考えられます。
[1] y=x²+ax+1のグラフが区間(-2<x<-1)において、x軸に接している。
[2] y=x²+ax+1のグラフが区間(-2<x<-1)において、x軸と1点でだけ交わる。

[1] の場合
判別式D=a² - 4=0
a=±2
y=x²±2x+1=(x±1)²
接点は、(-1 , 0) , (1 , 0)
よって、a=±2 は不適。

[2] の場合
f(-2)>0 かつ f(-1)<0
または、
f(-2)<0 かつ f(-1)>0

まとめると、
f(-2)・ f(-1)<0
よって、
(5-2a)(2-a)<0
(2a-5)(a-2)<0
したがって、
2<a<5/2
    • good
    • 0

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