
y=x^2+ax+1が区間(-2<x<-1)において、y=0となる点が1つであるときのaの値を求めなさい
という問題なのですが、答えが2通り出てしまいどこが間違っているのかが分かりません
答えは2<a<5/2でした
私が考えたのは以下の通りです
まず下の写真のように、
1. 放物線の軸が-1より大きい場合
2. 放物線の軸が-2より小さい場合
の2つに場合分けしました
1の場合は、
x=-2の時のy座標が正である…①
x=-1の時のy座標が負である…②
この2つから式を立てて、連立すると
2<a<5/2になりました
2の場合は
x=-2の時のy座標が負である…①
x=-1の時のy座標が正である…②
この2つから式を立てて、連立すると
a<2, 5/2<aになりました
2つともy=0となる点が1つであり、適していると思ったのですが、何か条件が抜けているのでしょうか
色々考えたのですが、自分では気づくことができません
どこが間違っているのか、指摘して頂くとありがたいです
どなたかお願いします

No.1ベストアンサー
- 回答日時:
まず下の写真のように、
1. 放物線の軸が-1より大きい場合
2. 放物線の軸が-2より小さい場合
の2つに場合分けしました
⇓
① 軸が -1 と -2 の間にある場合を考えていない
② 軸を求め、1であれば
-1<軸 から a の範囲 を求め、1の場合の 2<a<5/2 が
適しているかどうかを吟味していない
2の場合も同様
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
f(x)=y=x^2+ax+1=(x+a/2)^2-a^2/4+1 (-2<x<-1)
より、軸は直線 x=-a/2
この放物線は下に凸で、放物線は軸に対して左右対称だから
(1) -a/2<-3/2 すなわち a>3 のとき
f(-2)<0 かつ f(-1)>0
(2) -3/2<-a/2 すなわち a<3 のとき
f(-2)>0 かつ f(-1)<0
(3) -a/2=-3/2 すなわち a=3 のとき
の3つの場合に分けて考えればよい
(1) のとき
f(-2)<0 より 5-2a<0 a>5/2
f(-1)>0 より 2-a>0 a<2
f(-2)<0 かつ f(-1)>0 を満たす a の値は存在しないので不適
(2) のとき
f(-2)>0 より 5-2a>0 a<5/2
f(-1)<0 より 2-a<0 a>2
f(-2)>0 かつ f(-1)<0 を満たす a の値は 2<a<5/2
これは a<3 に適する
(3) のとき
f(x)=x^2+3x+1 となり
f(-3/2)=9/4-9/2+1=-5/4≠0
y=f(x) はx軸に接しないので不適
以上(1) ~ (3) より求める a の値の範囲は
2<a<5/2
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
軸が 与えられた区間 (-2<x<-1) の中央? (x=-3/2) の
(1) 左側にある
(2) 右側にある
(3) 中央にある
の3つの場合に分けて考えればよいのでは
No.2
- 回答日時:
y=x²+ax+1
x=0 のとき y=1 よりグラフは(0,1) でy軸と交わります。したっがって、1のグラフは間違いです。
y=x²+ax+1
=(x + a/2)² - a²/4+1
グラフは下に凸の放物線で、軸は x= - a/2 です。
2. 軸が -2 より小さい場合
- a/2< - 2
a>4
f(-1)=2 - a
f(-2)=5 - 2a
a>4 のとき、f(-1)<0 , f(-2)<0 です。したっがって、2のグラフは間違いです。
1. 放物線の軸が -1より大きい場合
- a/2> - 1
a<2
a<2 のとき、f(-1)>0 , f(-2)>0 です。したっがって、1 のグラフは間違いです。
これより、場合分けで残された部分 - 2 ≦ x ≦ - 1 の範囲に軸があることになります。しかし、軸で場合分けすると大変なので次のように考えます。
y=x²+ax+1が区間(-2<x<-1)において、y=0となる点が1つであるということは、次の2つの場合が考えられます。
[1] y=x²+ax+1のグラフが区間(-2<x<-1)において、x軸に接している。
[2] y=x²+ax+1のグラフが区間(-2<x<-1)において、x軸と1点でだけ交わる。
[1] の場合
判別式D=a² - 4=0
a=±2
y=x²±2x+1=(x±1)²
接点は、(-1 , 0) , (1 , 0)
よって、a=±2 は不適。
[2] の場合
f(-2)>0 かつ f(-1)<0
または、
f(-2)<0 かつ f(-1)>0
まとめると、
f(-2)・ f(-1)<0
よって、
(5-2a)(2-a)<0
(2a-5)(a-2)<0
したがって、
2<a<5/2
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
オンライン健康相談gooドクター登場
24時間365日いつでも医師に健康相談できる!詳しくはコチラ>>
-
教えてgooでいつも分かりやすく数学の解説をして下さる方々、どんな仕事してるんですか?数学の講師とか
数学
-
数学Iについて質問があります。 下の画像の問題で、赤戦より下の部分からよくわからないです。 これは赤
数学
-
数学Iについて質問があります。 下の画像の問題についてで、三乗と二乗をどう計算していけばいいのかが分
数学
-
4
数学の積分の問題がわかりません。 この画像の問題の赤マーカー部分がわかりません。 その式までなら理解
数学
-
5
数学 2次方程式
数学
-
6
Σ計算の順番変更について
数学
-
7
積分の問題をわかりやすく解説していただきたいです。
数学
-
8
y=logx/x^2にx=√eを代入すると1/2eになる過程が分かりません。誰か教えてください
数学
-
9
【数学記号】℣はどういう意味の記号ですか? なんと読みますか?
数学
-
10
3変数の相関
数学
-
11
【関数の増減と極大・極小】 f(x)にx=1を代入したのはなぜですか?
数学
-
12
高校数学
数学
-
13
三角関数を含む積分について
数学
-
14
ある関数の逆数を微分すると元の関数の微分したものとの法則は
数学
-
15
数学の問題です!!y=ax^2+bx+cとx^2+y^2=1の円との4つの交点を左から順にA,B,C
数学
-
16
(log₃5+2log₃5/3)(2/log₃5-1/2log₃5)の計算の仕方を教えてください
数学
-
17
2直線の交点座標の求め方について教えてください。
数学
-
18
3-m²<0 を m²-3>0 に変えると答え(mの範囲)が変わるのはなぜですか?なお、グラフは上開
数学
-
19
sinの逆数はcsc sin の逆関数はarcsinです。 ではsinの逆関数の逆数でありsinの逆
数学
-
20
スマホゲームをしていて気になったのですが、1/5の確率を21回連続で外す確率はどの程度ですか? 計算
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
人気Q&Aランキング
-
4
4次元、5、6、7、8、9次...
-
5
三点を通る円の中心座標と半径...
-
6
円の方程式の決定
-
7
距離と方向角から座標を求める...
-
8
N点間の中心と重心の求め方
-
9
三角関数
-
10
複素数平面と座標平面の対応に...
-
11
二点の座標から角度を求めるには?
-
12
これはなぜ楕円なんですか?
-
13
数IIの「図形と方程式」の質問...
-
14
斜距離の算出公式はありますか?
-
15
高校1年の数学なのですが 因数...
-
16
等高線図を書くための補間のやり方
-
17
グラフが異なる2点でX軸の正の...
-
18
円筒座標におけるナビエストー...
-
19
Excelで、任意の座標が属するセ...
-
20
対数螺旋の方程式と書き方について
おすすめ情報
確かに色々と条件が抜けていましたね
ありがとうございます、助かりました