東大入試問題2008年（をちょっと変えた問題です。）

タイトルに書いた通り、東大入試問題2008をちょっと変えた問題です。

ー正八面体を真上からみた図を描きなさい。

この問題についてはわかったのですが、本題は次の

ー正八面体の互いに平行な2つの面をとり、それぞれの面の重心をＧ₁、Ｇ₂とする。Ｇ₁、Ｇ₂を通る直線を軸としてこの正八面体を1回転させてできる立体の見取り図を描け。

というもんだいです。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  鼓・・・ですか？
  なぜそのような形になるのですか？詳しく教えてください！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/02/28 18:56

• 例2の【中学の先生が頭の体操として生徒に出した。】
  の方です。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/03/05 07:12

No.6 ベストアンサー 回答者： kacchann 回答日時： 2021/03/07 10:04

まず最初に･･･。

「八面体を回転させてできる立体」の側面は、
「八面体の側面にくる辺(6つ)」の軌跡(通り道)とかんがえられる。
なので、これらの「6つの側面の辺」の軌跡を考えていくことにする。
---

図1が、八面体を真上から見た図。図2が、「上ななめ横」から見た図。
灰色の面が上面。
また、
赤い太線、黒い太線が「八面体の側面にくる辺」。それぞれ3本ずつある。

で、「その3つの赤い(側面の)辺」は回転すると重なるので、
「直線として同一」とみなせる。「3つの黒い(側面の)辺」についても同様。

ということは、「八面体の側面の辺」は2種類のみある。
---

また、その2種類の「赤い辺」と「黒い辺」は
回転軸からみれば左右対称である。(図3)
よって赤の辺、黒の辺をそれぞれ回転させてできる面(軌跡)は、
「同一になる」と考えられる。

なので結局、「赤の辺の1つ」のみの軌跡を考えればいいことになる。
---

ということで、図4のように辺ADを回転させたときの軌跡を考えることにする。
これはどんな形になるだろうか？　ぱっと見ただけでは、わかりにくい。

そこで、
「辺AD上に点をいくつもとって、それぞれの点の軌跡を考える」･･･(ア)
と、多少はわかりやすくなるかもしれない。(図5)
---

･･･ここで、上記の話はいったん脇に置いておくとして、
一般的に、
「回転軸に関し「ねじれの位置」にある直線の回転体」･･･(イ)
は、
http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/kait …
のような曲面になる。(※「ねじれの位置にある2直線」とは、
「同一平面上にない2直線」のこと)

実際に「わりばし2本(※2直線とみなす)」のそれぞれの真ん中にキリで穴を開け、
そこに「竹ひご、あるいは釘(※連結用の軸にする)」をとおして
「ねじれの位置関係にある2直線の模型」を工作し、
それをつかって「上記イの回転体」がどうなるか、実験して観察すると、
わかりやすくなるとおもう。その際、(ア)も参考に。

この回答へのお礼

なるほど！！
図も載せていただき、とても分かりやすい説明をありがとうございました。
今まで回答してくれて本当にありがとうございました。

お礼日時：2021/03/07 10:52

No.5 回答者： kacchann 回答日時： 2021/03/05 00:32

この「回転体の見取り図をかけ」という問題は、

「だれが、誰に対し、どういう目的で」
出したの？

例1:難関高校受験の塾が、その生徒に対し、
難関高入試対策として出した。

例2:君のかよう中学の数学の教師が、
彼の生徒に対し、
頭の体操として出した。

こんなカンジで教えて。

No.4 回答者： kacchann 回答日時： 2021/03/04 01:27

No.3です。

実際に解いてみたら、
普通の解法ですんなり解けてしまった。
---

ようは、東大の実際の問題と「ほぼ同じ」解答です。
なので東大の実際の解答を理解してないと困る(^^)
理解してるよね？（ひょっとして君、中学生なのかな？
この質問、もともと「高校受験」のカテゴリーだったような）
---

君が大学受験生だという仮定で回答しますが、
東大の実際の問題は、
回転体の体積を求める問題。で、このときかたは、
「定石どおりに」解けばいいだけ。
つまり、回転体を回転軸に垂直な平面できって、
「その断面(円)をとらえ、
この円の半径をＬとすれば円の面積はπL^2であり」、･･･(a)
これを回転軸方向に積分すると、体積がでる。定石ですね。

次にじゃあ君が載せた改題のほうはどう解くかというと、
(a)の際に、(xyz座標空間において
回転軸をZ軸に平行にとれば、)LはＺ軸座標値で表せるわけだけど、
この座標値をzとすると、
Lとzの関係式は、結局「双曲線型の式」になる。
だから回転体の側面は、この双曲線を回転したものになる。
---

ちなみに、
(詳しく知らないのですが、)
ネット検索して調べた限りでは、
「回転軸に関して"ねじれ"の位置にある直線の回転体」は
一般に「一葉双曲面」というものになるようです。

http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/kait …
ttp://nonoishi.web.fc2.com/entexam/nyuusi2.pdf

この回答へのお礼

すみません、わかる人にはわかるのかもしれないけれど、
・・・私にはわかりませんでした。
ずっと回答してくれてありがとうございます。
中学生に教える、という形で教えてもらえませんか。

お礼日時：2021/03/04 08:06

No.3 回答者： kacchann 回答日時： 2021/03/02 00:30

No2です。

アー、「そうなる理由」か。

カンでは「こういう理由かな」というのはわかるんだけど、
自信ないので、回答はとりあえず控えます。
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僕、この質問、
「回答には専門的知識が必要だから「数学」のカテゴリーへ変更したほうがよい」と
「教えてgoo事務局」に依頼したんだけど、
なぜか「大学受験」のカテゴリーへの変更になってしまった。頼んでないのに。
ど素人が対応に当たったと思われる。

恨むならその「対応にあたった教えてgoo事務局のど素人」を恨みなさい。
---

ということで、
1週間たっても回答つかなかったら、
数学のカテゴリーで再質問してみて。
待ちきれなかったらここを締め切ったうえで、
今すぐ数学のカテゴリーで再質問してもいいけど。

専門家に回答してもらったほうがいいでしょ。

この回答へのお礼

専門家の方に聞いてみようと思います！
ありがとうございました！

お礼日時：2021/03/02 14:24

No.2 回答者： kacchann 回答日時： 2021/03/02 00:12

どうぞ

ttps://www.youtube.com/watch?v=FCsX38S157M

この回答へのお礼

ありがとうございます。
後で見てみます。

お礼日時：2021/03/02 14:25

No.1 回答者： kacchann 回答日時： 2021/02/28 00:13

日本の楽器の「つづみ」みたいな形になると思われる。