減衰振動の運動方程式（微分方程式）の解法

閲覧ありがとうございます。
ご教授いただければ幸いです。
減衰振動の運動方程式を解こうとしているのですが、
最後の三角関数の合成がわかりません。
Ce(－ɤt乗)(Acosωt+Bsinωt)から
Ce(－ɤt乗)cos(ωt+φ)
但しtanφ=-B/Aとするになる過程がわかりません。

計算過程も一応のせていますが、最後の部分です。

加法定理からするとCe(－ɤt乗)cos(ωt-φ)になるのではと思っています。
何となく第４象限で計算しているからそうなっているの等推測はしていますが
何故第１象限で素直に計算しないの等もやっとしています。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/03/03 02:06

cos(ωt+φ)=cosωtcosφ-sinωtφ=Acosωt+Bsinωi

だから
A=cosφ
B=-sinφ
-B/A=tanφ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
という事は、以下理解でよろしいでしょうか？
ご教授頂ければ幸いです。
cos(ωt+φ)=cosωtcosφ-sinωtφ=Acosωt-Bsinωi
のときはA=cosφ　　B=sinφ　　B/A=tanφ
減衰振動の資料をみても両方の式が出てくるので腑に落ちていなかったの
ですが、上記が成り立つのであれば意味は理解できそうです。

（微分方程式でなぜ-B/A=tanφとなる角を選ぶのかは未だに謎ですが。。。）

お礼日時：2021/03/03 22:46

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/02/27 19:36

和角の公式を知らない？

D*cos(ωt+φ)=D*(cosωt cosφ-sinωt sinφ)
=A sinωt + B cosωt
なら，B/A=-D*sinφ/(D*cosφ)=-tanφ。
以上。ただしご質問文の式は間違いです。
一行目のCと二行目のCは違うもの。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
和角の公式は把握していないです。
（検索しても日本語サイトにはたどりつかないので）

頂いた情報と既存の知識から以下と理解しましたが
間違っていないでしょうか？
間違っていないなら微分方程式を②ではなくて①で
解かないといけない理由を教えて頂けると助かります。

①D*cos(ωt+φ)=D*(cosωt cosφ-sinωt sinφ)
=A sinωt + B cosωt
なら，B/A=-D*sinφ/(D*cosφ)=-tanφ。

②D*cos(ωt+φ)=D*(cosωt cosφ-sinωt sinφ)
=A sinωt - B cosωt
なら，B/A=D*sinφ/(D*cosφ)=tanφ。

回答頂いた方以外でも構いませんので、ご教授いただければ幸いです。
お手数をお掛け致しますが、よろしくお願い致します。

お礼日時：2021/02/28 14:18